Dinâmica da Função Gama de Euler 
O problema
O problema prático de interpolação a partir da fórmula de recorrência dos factoriais dos números naturais esteve na origem de uma função, hoje designada \(\Gamma\), cuja definição Euler publicou num artigo de \(1729\) com o título (tradução a partir de [1]) Sobre progressões transcendentes cujo termo geral não pode ser expresso algebricamente. A função que Euler criou tem domínio \(\mathbb{R}^+\), vale \(1\) em \(1\) e satisfaz a equação
(1) \(\Gamma(x+1) = x \,\Gamma(x) \quad \quad \forall x > 0\)
De onde se deduz a recorrência
(2) \(\Gamma(n)=(n-1)! \quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N}\).
Não se trata, portanto, de um prolongamento da função factorial mas de uma função cujo gráfico passa por todos os pontos \(\big(n,(n-1)!\big)\) com \(n \in \mathbb{N}\). Para interpolarmos a função factorial e juntarmos à tabela anterior o valor em \(1/2\), basta considerar a função \[x \geqslant 0 \quad \mapsto \quad f(x) = \Gamma(x+1)\] que em \(1/2\) vale \(f(1/2) = \Gamma(3/2)\). Note-se que, uma vez encontrada a função \(\Gamma\), também \(x \, \mapsto \, \Gamma(x) + 0,8 \text{ sen}\,(\pi\,x)\) ou \(x \, \mapsto \, \Gamma(x) \,\big(1 + 0,8 \text{ sen} \,(2\pi\,x)\big)\) satisfazem a igualdade (2) - ver figura 1. A figura 2 mostra os gráficos dos logaritmos das três funções da figura 1.
Sabe-se hoje, porém, que só pode existir uma função \(\varphi: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) que verifique as três condições seguintes:
(a) \(\varphi(x+1) = x \,\varphi(x) \quad \,\forall x > 0\)
(b) \(\varphi(1) = 1\)
(c) \(\log \varphi\) é convexa.
De facto, destas propriedades de \(\varphi\) deduzimos facilmente que \(\log \varphi (1) = 0\) e que \[\log \varphi (x+1) = \log \varphi(x) + \log x \quad \quad \forall \, x > 0.\] E daqui resulta que: \[\log \varphi (n+1) = \log n! \quad \quad \forall n \in \mathbb{N} \\ \] \[\log \varphi (n+1+x) = \log \varphi(x) + \log \,[x\,(x+1)\cdots(x+n)] \quad \quad \forall \,n \in \mathbb{N} \,\,\,\, \forall\, x > 0.\] Além disso, se fixarmos \(0< x < 1\) e \(n \in \mathbb{N}\), pela convexidade de \(\log \varphi\) sabemos que os declives dos segmentos de recta que unem pares de pontos do gráfico desta função de abcissas \(n, \,n+1, \, n+1+x\) e \(n+2\) (veja-se um exemplo na figura 3) satisfazem \[\frac{\log \varphi(n+1) - \log \varphi(n)}{(n+1) - n} \,\leqslant\, \frac{\log \varphi(n+1+x) - \log \varphi(n+1)}{(n+1+x) - (n+1)} \,\leqslant\, \frac{\log \varphi(n+2) - \log \varphi(n+1)}{(n+2) - (n+1)}\] ou seja, \[\log \varphi(n+1) - \log \varphi(n) \,\leqslant\, \frac{\log \varphi(n+1+x) - \log \varphi(n+1)}{x} \,\leqslant\, \log \varphi(n+2) - \log \varphi(n+1).\]
Figura 3
E, portanto, tem-se \[x\,\log n \,\leqslant\, \log \varphi(x) + \log \,[x\,(x+1)\cdots(x+n)] - \log n! \, \leqslant\, x\,\log (n+1).\] Consequentemente, \[0 \,\leqslant\, \log \varphi(x) - \log \,\frac{n! \, n^x}{x\,(x+1)\cdots(x+n)} \, \leqslant\, x\,\log \big(1+\frac{1}{n}\big).\] Uma vez que \(\lim_{n \, \to \, +\infty} \, x\,\log \,(1+\frac{1}{n}) = 0\), concluímos que \[\log \varphi(x) = \lim_{n \, \to \, +\infty} \, \log \,\frac{n! \, n^x}{x\,(x+1)\cdots(x+n)} \quad \quad \forall \,0 < x < 1\] logo \[\varphi(x) = \lim_{n \, \to \, +\infty} \,\frac{n! \, n^x}{x\,(x+1)\cdots(x+n)} \quad \quad \forall \, 0 < x < 1.\] Das propriedades (a) e (b), resulta que esta igualdade também é válida em \([1, +\infty[\). A figura 4 ilustra a convergência pontual para a função \(\Gamma\) da sucessão de funções \[x > 0 \quad \mapsto \quad \varphi_n(x) = \,\frac{n! \, n^x}{x\,(x+1)\cdots(x+n)}\] e de \((\log \varphi_n)_{n \, \in \, \mathbb{N}}\) para \(\log \Gamma.\)
