ATRACTOR

No que se segue, analisaremos o comportamento assimptótico das sucessões \((\Gamma^m(x))_{m \, \in \, \mathbb{N}\cup\{0\}}\), onde \(\Gamma^1 = \Gamma\) e \(\Gamma^{m+1} = \Gamma \circ \Gamma^m\), para os valores de \(x\) em que estas sucessões (também chamadas órbitas de \(\Gamma\)) estejam bem definidas. Comecemos pelas órbitas mais simples, os pontos fixos de \(\Gamma\). A figura 5 sugere que existe um conjunto numerável de pontos fixos, dois em \(\mathbb{R}^+\) e mais dois em cada intervalo \(]-2k-1, -2k[\), \(k \in \mathbb{N}\). Observe-se, porém, que os pontos fixos \(1\) e \(\beta \in \,\,]3,4[\) têm uma natureza distinta. O ponto fixo \(1\) é atractor pois sabe-se que a derivada \(\Gamma^\prime(1)= -\gamma\), onde \[\gamma = \lim_{n \, \to \, +\infty}\,\Big(1 + 1/2 + \cdots + 1/n - \log n\Big) \sim 0,6;\] pelo contrário, \(\beta\) é repulsor, com \(\Gamma^\prime(\beta) > 4\). A figura 6 mostra parte de quatro órbitas, duas delas atraídas para \(1\).

Figura 6

A dinâmica de \(\Gamma\) em \(\mathbb{R}^+\) é fácil de descrever. Se \(x\) pertence ao intervalo \(]\alpha, \beta[\), onde \(\alpha\) é o único real positivo de \(]0,1[\) cuja imagem por \(\Gamma\) é \(\beta\), então a órbita de \(x\) converge para \(1\). Pelo contrário, se \(x > 0\) está no complementar do intervalo \([\alpha, \beta]\) então a sua órbita tende para \(+ \infty\). Uma aproximação da bacia de atracção de \(1\) (definida como o conjunto de pontos cujas órbitas convergem para \(1\)) é dada pelas abcissas dos pontos do gráfico de \(\Gamma\) coloridos a azul. Para as abcissas dos pontos neste gráfico coloridos a roxo ou a castanho, essas sucessões ou não estão definidas (é o caso de \(x_0 \in \, \,]-3, -2[\) tal que \(\Gamma(x_0) = - 2\)); ou convergem para o ponto fixo \(\beta\) (como a órbita de \(\beta\) e as das suas infinitas pré-imagens por \(\Gamma\)); ou tendem para \(+\infty\) (como acontece com \(x_1=4\)); ou têm outro comportamento que ainda precisamos de descobrir.

A figura 5 parece indicar também que a dinâmica mais relevante da função \(\Gamma\) ocorre em \(\mathbb{R}^- \setminus \mathbb{Z}^-\). Interessam-nos os pontos de \(\mathbb{R}^- \setminus \mathbb{Z}^-\) cujas órbitas são limitadas e não passam por \(\mathbb{R}^+\). Terá \(\Gamma\) outros atractores além do ponto fixo \(1\)? Analisemos, por exemplo, o que se passa no intervalo \(]-3, -2[\). Aqui há dois pontos fixos (e só dois) que são repulsores, e dois intervalos disjuntos \(I=[a_1, a_2]\) e \(J=[b_1, b_2]\) tais que \(a_1 < a_2 < b_1 < b_2\), \(\Gamma(a_1) = -3 = \Gamma(b_2)\), \(\Gamma(a_2) = -2 = \Gamma(b_1)\), \(\Gamma(I)=[-3,-2]=\Gamma(J)\) e as restrições de \(\Gamma\) a \(I\) e a \(J\) são homeomorfismos. Na figura 7 podem ver-se os intervalos \(I\) e \(J\) ampliados, os gráficos das restrições a \(I \cup J\) de \(\Gamma\) e da função identidade, além de duas órbitas periódicas, uma de período \(2\) e outra de período \(3\).

Figura 7

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