ATRACTOR

O conjunto \(\Lambda = \bigcap_{j=0}^{+\infty}\,\,\Gamma^{-j}\,\big(I \cup J\big)\), dos pontos de \(I \cup J\) cujas órbitas não saem desta união, é não vazio (por ser intersecção encaixada de compactos não vazios) e invariante pela dinâmica (isto é, \(\Gamma(\Lambda) \subseteq \Lambda\)). E nele há pontos periódicos (repulsores) de todos os períodos, que até formam um subconjunto denso. Vejamos porquê. Atribuamos a cada ponto \(x \in \Lambda\) uma sucessão \((\tau_n(x))_{n \, \in \, \mathbb{N}\cup \{0\}}\) que descreve o itinerário da órbita de \(x\) na partição \(I \cup J\), definida por \[n \in \mathbb{N}\cup \{0\}\quad \mapsto \quad \tau_n (x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \quad \hbox{se $\,\,\Gamma^n(x) \, \in \, I$} \\ & \\ 1 & \quad \hbox{se $\,\,\Gamma^n(x) \, \in \, J$.} \end{array} \right.\] Seja \(\Sigma_2\) o espaço das sucessões \((x_n)_{n \, \in \, \mathbb{N}\cup \{0\}}\) tais que \(x_n \in \{0, 1\}\) para todo o \(n \in \mathbb{N}\cup \{0\}\). A função \(\mathcal{I}t: \Lambda \, \to \, \Sigma_2\), que a cada \(x \in \Lambda\) associa \((\tau_n(x))_{n \, \in \, \mathbb{N}\cup \{0\}}\), está bem definida porque \(I \cap J = \emptyset\) e as órbitas de pontos de \(\Lambda\) não saem de \(I \cup J\). Além disso, o mínimo do valor absoluto da derivada de \(\Gamma\) em \(I \cup J\) é maior do que \(1\), o que induz um afastamento por acção de \(\Gamma\) das condições iniciais em \(I \cup J\) que estejam suficientemente perto, impedindo a existência de dois pontos distintos de \(\Lambda\) cujas órbitas tenham o mesmo itinerário na partição \(I \cup J\). Com estas propriedades, pode provar-se que \(\mathcal{I}t\) é uma bijecção e que, se em \(I \cup J\) considerarmos a distância euclidiana e em \(\Sigma_2\) a distância \[d\big((x_n)_n, (y_n)_n\big) = \sum_{n\, = \, 0}^{+ \infty}\,\frac{|x_n - y_n|}{2^n}\] então \(\mathcal{I}t\) é um homeomorfismo. Note-se ainda que, para cada \(x \in \Lambda\), \[\tau_n(\Gamma_{\mid\Lambda}(x)) = \tau_{n+1}(x) \quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\] isto é, \(\mathcal{I}t \circ \Gamma_{\mid\Lambda} = \sigma \circ \mathcal{I}t\), onde \(\sigma: \Sigma_2 \to \Sigma_2\) é a transformação \(\sigma((x_n)_{n \, \in \, \mathbb{N}\cup \{0\}})= (x_{n+1})_{n \, \in \, \mathbb{N}\cup \{0\}}.\) Deste modo, a informação dinâmica que conhecemos sobre \(\sigma\) transfere-se para a restrição de \(\Gamma\) a \(\Lambda\). Por exemplo, se \(z\) é um ponto periódico de período \(k\) de \(\sigma\), então \(\mathcal{I}t^{-1}(z)\) é periódico por \(\Gamma_{\mid\Lambda}\) com igual período. Ora, é imediato construir pontos periódicos de período \(k\) por \(\sigma\): basta considerar um bloco de \(k\) dígitos de \(\{0,1\}\) (e há \(2^k\) escolhas de tais blocos) e repeti-lo indefinidamente para formar uma sucessão cuja órbita por \(\sigma\) é periódica de período \(k\). E é fácil demonstrar que o conjunto de pontos periódicos de \(\sigma\) é denso em \(\Sigma_2\), propriedade que é levada pelo homeomorfismo \(\mathcal{I}t^{-1}\) para os pontos periódicos de \(\Gamma_{\mid \Lambda}\) em \(\Lambda\).

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