ATRACTOR

Seja \(f:\, I\rightarrow\mathbb{R}^{2}\) uma curva parametrizada diferenciável. Para cada \(t\in I\) onde \(f'(t) \neq 0\), fica definida uma única recta na direcção de \(f'(t)\), que é denominada de tangente em \(t\). No estudo das curvas é conveniente assumir a existência de tangente em todos os pontos da curva e portanto surge a seguinte definição:

Tem-se ainda que \(s'(t)=\left|f'(t)\right|\).

Diz-se que uma curva parametrizada regular está parametrizada pelo comprimento de arco se \(\left|f'(t)\right|=1\) para todo \(t \in I\).

Supondo que a curva \(f\) determina a posição de uma determinada partícula, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco precisamente quando a partícula se move com velocidade constante igual a \(1\).

O vector tangente à curva num certo \(t\), usualmente denotado por \(T=\left(T_{1},T_{2}\right)\), é dado por \(f'(t)\) enquanto o vector normal \(N=\left(N_{1},N_{2}\right)\) é dado por \[\frac{f''(t)}{\left|f''(t)\right|}.\]

A definição de curvatura que se irá apresentar a seguir apenas é válida para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco. Esta restrição não é muito grande, uma vez que é possível, dada uma qualquer curva suave, determinar uma curva diferenciável, parametrizada pelo comprimento de arco, que tenha o mesmo traço que a curva inicial.

Definição: Seja \(f:\, I\rightarrow\mathbb{R}^{2}\) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco \(s \in I\). A função curvatura (com sinal) de \(f\) é dada por \[k(s)=§\left|f'(s)\right|\] onde \(§\) é definido do seguinte modo

Valor de \(§\)	Condição	"Esquema"
\(§=1\)	\(T_{1}\times N_{2}-T_{2}\times N_{1} >0\)
\(§=-1\)	\(T_{1}\times N_{2}-T_{2}\times N_{1} <0\)