A Curvatura e a Torção: como distinguir a forma de uma curva 
Curvas no Espaço
É possível generalizar para curvas em \(\mathbb{R}^{3}\), da maneira óbvia, os conceitos de curva diferenciável, vector velocidade e traço da curva para curvas planas. Os conceitos de curva regular, comprimento de arco, vector tangente e vector normal também podem ser generalizados a partir do caso planar.
Define-se portanto que, dada \(f:\, I\rightarrow\mathbb{R}^{3}\) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, o vector \(T(t)=(T_1(t),T_2(t),T_3(t))\) dado por \(f'(t)\) é o vector tangente à curva no ponto \(t\) enquanto que o vector \(N(t)=(N_1(t),N_2(t),N_3(t))\) dado por \(\frac{f''(t)}{\left|f'(t)\right|}\)é o vector normal.
Na situação tridimensional, define-se ainda um terceiro vector: o vector binormal. Este vector é definido do seguinte modo: \[\begin{array}{ccl} B & = & \left(B_{1},B_{2},B_{3}\right)=T\times N=\\ & = & "\mbox{det}"\left(\begin{array}{ccc} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ T_{1} & T_{2} & T_{3}\\ N_{1} & N_{2} & N_{3} \end{array}\right)=\\ & = & \left(T_{2}N_{3}-T_{3}N_{2},T_{3}N_{1}-T_{1}N_{3},T_{1}N_{2}-T_{2}N_{1}\right) \end{array}\]
Verifica-se que \(\left|B\right|=1\). O vector tangente (\(T\)), o vector normal (\(N\)) e o vector binormal (\(B\)) formam o chamado triedro de Frenet. Os três vectores unitários que formam este triedro são mutuamente ortogonais; a tangente \(T\) indica a direcção na qual a curva se está a mover; a normal \(N\) indica a direcção para a qual a curva se está a virar e a binormal \(B\) é um vector perpendicular a \(T\) e a \(N\), de modo a formarem os três um referencial ortonormado, orientado positivamente.
O plano definido pelos vectores tangente \(T\) e normal \(N\) denomina-se de plano osculador. O plano osculador de um dado ponto da curva é o plano que melhor se aproxima da curva nesse ponto. Note-se ainda que o vector binormal \(B\) é perpendicular ao plano osculador.
Vejam-se alguns exemplos:
