ATRACTOR

Os 3-ciclos não-transitivos em que participa um dado \(D=abcdef\) com 1 a 6 pintas podem obter-se dos ciclos não-transitivos em que entra o dado dual \(E\), construído pelo método anterior, usando a seguinte regra: cada dado do ciclo é transformado no seu dual, calculando-se os simétricos módulo 7 dos números de pintas em cada face; depois dois dados são trocados de posição. Exemplifiquemos com o dado \(D=112224\). O seu dual é \(E=355566\), e cada um só aparece num 3-ciclo não-transitivo. Aplicando o mesmo algoritmo aos outros dados que surgem no 3-ciclo único de \(D\), e que são \(\left\{ 111244\right\} \), \(\left\{ 111334\right\} \), \(\left\{ 112224\right\} \) obtemos \(\left\{ 335666\right\} \), \(\left\{ 344666\right\} \), \(\left\{ 355566\right\} \) que precisa apenas de uma troca de posição entre o segundo e o terceiro dados para ser não-transitivo: \(\left\{ 335666\right\} \), \(\left\{ 355566\right\} \), \(\left\{ 344666\right\} \). Este é o único 3-ciclo não-transitivo em que participa o dado \(E\). Outro exemplo: O dual do dado \(D=111566\) é \(E=112666\). Estes são os dois dados que participam, cada um, em 1897 3-ciclos (os ciclos de \(D\) distintos dos de \(E\)). Além disso, cada um dos 3-ciclos não-transitivos de \(E\) se obtém pelo processo descrito anteriormente a partir dos 3-ciclos não-transitivos de \(D\) (e vice-versa).

Nota: Este procedimento deve generalizar-se para dados com \(1\) a \(N\) pintas, se tomarmos os simétricos módulo \((N+1)\).