ATRACTOR

Fig 5

Um ciclo de quatro dados como (\(A\), \(B\), \(C\), \(D\)) atrás considerado diz-se não-transitivo. E é natural agora levantar a questão de saber se haveria outras escolhas possíveis para os números de pintas nas faces dos seis dados, escolhas essas que fossem igualmente adequadas para pôr em evidência esta inesperada propriedade. Se quisermos escolher quatro dados de forma a que, tal como acontece naqueles dados, nunca haja empate em qualquer das jogadas entre dois deles, teremos de os escolher de modo a que nenhuma face de cada um deles tenha o mesmo número de pintas de qualquer face do outro. Ora, se permitirmos de 0 a 6 pintas, estas sete possibilidades não chegam para que todos os quatro dados tenham dois tipos de faces (\(4\times2=8>7\) alternativas), portanto pelo menos um dado terá necessariamente todas as faces com o mesmo número de pintas. Usando um programa feito no Mathematica com esse propósito, selecionámos todos os ciclos não-transitivos, isto é, em que as probabilidades de cada dado ganhar ao seguinte são todas maiores do que \(\frac{1}{2}\). Encontrámos 37 ciclos não-transitivos, dos quais os 12 primeiros estão representados na figura 5.

Calculando, para cada ciclo, o mínimo das probabilidades referidas, todas elas maiores do que \(\frac{1}{2}\), obtivemos para esses mínimos apenas três valores: \(\frac{5}{9}\), \(\frac{7}{12}\) e \(\frac{2}{3}\), mas apenas um ciclo, o indicado acima, tem mínimo \(\frac{2}{3}\), que é o valor (comum) da probabilidade de cada dado ganhar ao seguinte no ciclo. Dos restantes 36 ciclos, três (do 2º ao 4º, na figura) têm \(\frac{7}{12}\) como probabilidade mínima e 33 têm \(\frac{5}{9}\). Ora, \(\frac{5}{9}\) é muito próximo de \(\frac{1}{2}\), isto é, a probabilidade de um dado ganhar ao outro é só ligeiramente maior do que a de perder. E essa pequena diferença torna a escolha desinteressante: com um pequeno número de jogadas, não se consegue pôr em evidência de modo significativo a diferença entre os resultados dos dois dados. Além disso, um ciclo que corresponda a \(\frac{7}{12}\), embora em grau ligeiramente menor do que no caso \(\frac{5}{9}\), também tem um inconveniente análogo e não é uma boa escolha. Em conclusão: o ciclo da “Matemática Viva” era a única escolha ótima!