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Triângulos belos
Um triângulo diz-se equilátero se os quocientes entre os comprimentos dos seus lados forem iguais a 1. Que triângulos do plano têm os quocientes entre os comprimentos dos três lados racionais?
Qualquer triângulo pitágorico, como por exemplo o ilustrado na Fig 1, satisfaz esta condição, o que nos permite concluir, em particular, que há uma infinidade de triângulos nestas condições.
Fig 1
Fig 2
Mas há muitas outras possibilidades, como por exemplo o triângulo escaleno patente na Fig 2.
Já o triângulo da Fig 3 não satisfaz a condição anterior, mas verifica uma análoga para os ângulos: os quocientes entre as amplitudes dos ângulos são racionais. É natural agora perguntar quais serão os triângulos que satisfazem as duas condições indicadas? O triângulo equilátero é claramente um exemplo de um tal triângulo. Haverá mais?
Fig 3
Esta é uma questão analisada no artigo "Triângulos Belos " publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática e, com mais detalhe, nas páginas do site dedicadas ao tema. Em ambos os sítios, encontra uma justificação para o facto de as duas condições descritas implicarem que um tal triângulo:
- seja semelhante a um triângulo com lados racionais;
- tenha os ângulos como múltiplos racionais de \(\pi\).
Estas duas condições, por sua vez, permitem concluir que o triângulo equilátero é na realidade o único que satisfaz as duas condições impostas.
O artigo referido termina vendo que conclusões análogas não são válidas quando tratamos da geometria esférica.
