ATRACTOR

Verificaremos como a propriedade de os três lados de um triângulo plano serem iguais resulta de uma combinação harmoniosa, e única, de lados e ângulos.

Um triângulo diz-se equilátero se os quocientes entre os comprimentos dos seus lados são iguais a \(1\). Que triângulos do plano têm estes três quocientes racionais? Dado um triângulo no plano com lados de comprimentos \(a,\) \(b,\) \(c\) tais que existem números naturais \(p_{1},\) \(p_{2},\) \(p_{3},\) \(q_{1},\) \(q_{2},\) \(q_{3},\) que verificam \[\frac{a}{b}=\frac{p_1}{q_1}, \quad \frac{b}{c}=\frac{p_2}{q_2} \quad \text{e} \quad \frac{a}{c}=\frac{p_3}{q_3}\] podemos reescalonar o triângulo e obter outro semelhante com lados racionais. Para isso, basta usar a homotetia \[H_1:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \left(\frac{x}{c}, \frac{y}{c}\right)\] que transforma o triângulo inicial num de lados \[a^\prime =\frac{p_1\,p_2}{q_1\,q_2}, \quad b^\prime=\frac{p_2}{q_2}, \quad \text{ e } \quad c^\prime=1.\]
Se, de seguida, aplicarmos uma nova homotetia
\[H_2:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (q_1\,q_2\,x,\,\, q_1\,q_2\,\,y)\] obtemos um triângulo de lados inteiros. Esta conclusão faz-nos suspeitar que, sem dados adicionais sobre os ângulos do triângulo, dificilmente conseguiremos mais informação sobre ele. Avancemos, por isso, com alguma hipótese sobre os ângulos.

(*) Nível de dificuldade: Superior