ATRACTOR

1º exemplo (bissecção)

Neste caso, \(\alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2}\) e \(\alpha_j=0\) para \(j>1\), pelo que a matriz \(A\) tem exactamente \(n\) valores próprios complexos distintos, dados por \[\lambda_t\;=\;\frac{1+\omega^t}{2} \] para todo \(t\in \{0,...,n-1\}\), sendo \(\omega\) uma raiz primitiva de ordem \(n\) da unidade. Logo, vem \[\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;-1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2\pi t}{n}\;=\;\pi \;\Longleftrightarrow\; 2t\;=\;n \] Assim, se \(n\) é ímpar, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz \(A\) é não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de bissecção. Se \(n\) é par, então \(\lambda _{n/2}=0\) e o determinante de \(A\) é 0, pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de bissecção não é bijectiva.

2º exemplo (trissecção)

Neste caso, \(\alpha_0=\frac{1}{3}\), \(\alpha_1=\frac{2}{3}\) e \(\alpha_j=0\) para \(j>1\), pelo que a matriz \(A\) tem exactamente \(n\) valores próprios complexos distintos, dados por \[\lambda_t\;=\;\frac{1+2\omega^t}{3} \] para todo \(t\in \{0,...,n-1\}\), sendo \(\omega\) uma raiz primitiva de ordem \(n\) da unidade. Logo, vem \[\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;\frac{-1}{2} \] sendo esta uma equação impossível para \(t\in \{0,...,n-1\}\). Portanto, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz \(A\) é não nulo e a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de trissecção é bijectiva.

3º exemplo

Neste caso, dado algum valor de \(p\) entre 0 e 1, \(\alpha_{0}=1-p\), \(\alpha_{1}=p\) e \(\alpha_{j}=0\) para \(j>1\), pelo que a matriz \(A\) tem exactamente \(n\) valores próprios complexos distintos, dados por \[\lambda_t\;=\;(1-p)+p\omega^t \] para todo \(t\in \{0,...,n-1\}\), sendo \(\omega\) uma raiz primitiva de ordem \(n\) da unidade. Logo, vem \[\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\; \frac{1-p}{p} \] sendo esta uma equação impossível para \(t\in \{0,...,n-1\}\) se \(\frac{1-p}{p}\neq 1\), ou seja, se \(p\neq \frac{1}{2}\) (se \(p=\frac{1}{2}\), então temos \(\alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2}\) e \(\alpha_{j}=0\) para \(j > 1\) o que já foi analisado no primeiro exemplo). Se \(p\neq \frac{1}{2}\), então os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz \(A\) é não nulo (de facto, prova-se que o determinante de \(A\) é \((1-p)^{n}-(-p)^{n}\)) e a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo é bijectiva. Note-se que, se \(p=\frac{2}{3}\), então temos \(\alpha_0=\frac{1}{3}\), \(\alpha_1=\frac{2}{3}\), e \(\alpha_{j}=0\) para \(j> 1\), o que já tinha sido analisado no segundo exemplo.

4º exemplo

Neste caso, \(\alpha_1=\alpha_{n-1}=\frac{1}{2}\) e \(\alpha_{j}=0\) para \(j\neq 1,n-1\), pelo que a matriz \(A\) tem \(n\) valores próprios complexos (não necessariamente distintos), dados por \[\lambda_t\;=\;\frac{\omega^t+\omega^{(n-1)t}}{2} \;=\;\frac{\omega^t+\omega^{-t}}{2}\;=\;\cos\frac{2\pi t}{n} \] para todo \(t\in \{0,...,n-1\}\), \(\omega\) uma raiz primitiva de ordem \(n\) da unidade. Logo, vem \[\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;-\omega^{-t} \;\Longleftrightarrow\; \omega^{2t}\;=\;-1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4\pi t}{n}\;=\;\pi \;\Longleftrightarrow\; 4t\;=\;n \] Portanto, se \(n\) não é múltiplo de 4, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz \(A\) é não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo. Se \(n\) é múltiplo de 4, então \(\lambda_{n/4}=0\) e o determinante de \(A\) é 0, pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo não é bijectiva.