Neste caso, \alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2} e \alpha_j=0
para j>1, pelo que a matriz A tem exactamente n
valores próprios complexos distintos, dados por
\lambda_t\;=\;\frac{1+\omega^t}{2}
para todo t\in \{0,...,n-1\}, sendo \omega
uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem
\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;-1
\;\Longleftrightarrow\; \frac{2\pi t}{n}\;=\;\pi
\;\Longleftrightarrow\; 2t\;=\;n
Assim, se n é ímpar, os valores próprios são
todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A
é não nulo e existe uma bijecção entre
os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de
bissecção. Se n é par, então \lambda _{n/2}=0
e o determinante de A é 0,
pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos
determinados pelo processo de bissecção não é
bijectiva.
2º exemplo
(trissecção)
Neste caso, \alpha_0=\frac{1}{3}, \alpha_1=\frac{2}{3} e
\alpha_j=0 para j>1, pelo que a matriz A
tem exactamente n
valores próprios complexos distintos, dados por
\lambda_t\;=\;\frac{1+2\omega^t}{3}
para todo t\in \{0,...,n-1\}, sendo \omega
uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem
\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;\frac{-1}{2}
sendo esta uma equação impossível para
t\in \{0,...,n-1\}.
Portanto, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o
determinante da matriz A é não nulo e a
correspondência entre os pontos iniciais e os pontos
determinados pelo processo de trissecção é bijectiva.
3º exemplo
Neste caso, dado algum valor de p entre 0 e 1,
\alpha_{0}=1-p, \alpha_{1}=p e \alpha_{j}=0 para j>1,
pelo que a matriz A tem exactamente n
valores próprios complexos distintos, dados por
\lambda_t\;=\;(1-p)+p\omega^t
para todo t\in \{0,...,n-1\}, sendo \omega uma raiz primitiva
de ordem n da unidade. Logo, vem
\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;
\frac{1-p}{p}
sendo esta uma equação
impossível para t\in \{0,...,n-1\}
se \frac{1-p}{p}\neq 1,
ou seja, se p\neq \frac{1}{2}
(se p=\frac{1}{2}, então temos
\alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2} e \alpha_{j}=0 para j > 1
o que já foi analisado no primeiro exemplo). Se
p\neq \frac{1}{2}, então os valores próprios são
todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A
é não nulo (de facto, prova-se que o determinante
de A é (1-p)^{n}-(-p)^{n}) e a correspondência
entre os pontos iniciais e os pontos determinados por
este processo é bijectiva. Note-se que, se
p=\frac{2}{3}, então temos \alpha_0=\frac{1}{3},
\alpha_1=\frac{2}{3}, e \alpha_{j}=0 para j> 1,
o que já tinha sido analisado no segundo exemplo.
4º exemplo
Neste caso, \alpha_1=\alpha_{n-1}=\frac{1}{2}
e \alpha_{j}=0 para j\neq 1,n-1,
pelo que a matriz A tem n valores próprios complexos
(não necessariamente distintos), dados por
\lambda_t\;=\;\frac{\omega^t+\omega^{(n-1)t}}{2}
\;=\;\frac{\omega^t+\omega^{-t}}{2}\;=\;\cos\frac{2\pi t}{n}
para todo t\in \{0,...,n-1\}, \omega uma raiz primitiva
de ordem n da unidade. Logo, vem
\lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;-\omega^{-t}
\;\Longleftrightarrow\; \omega^{2t}\;=\;-1
\;\Longleftrightarrow\; \frac{4\pi t}{n}\;=\;\pi
\;\Longleftrightarrow\; 4t\;=\;n
Portanto, se n não é múltiplo de 4,
os valores próprios são todos não nulos, pelo que o
determinante da matriz A é
não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os
pontos determinados por este processo. Se n
é múltiplo de 4,
então \lambda_{n/4}=0 e o determinante de A
é 0, pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e
os pontos determinados por este processo não é bijectiva.