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Exemplos

1º exemplo (bissecção)

Neste caso, \alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2} e \alpha_j=0 para j>1, pelo que a matriz A tem exactamente n valores próprios complexos distintos, dados por \lambda_t\;=\;\frac{1+\omega^t}{2}

para todo t\in \{0,...,n-1\}, sendo \omega uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem \lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;-1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2\pi t}{n}\;=\;\pi \;\Longleftrightarrow\; 2t\;=\;n
Assim, se n é ímpar, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de bissecção. Se n é par, então \lambda _{n/2}=0 e o determinante de A é 0, pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de bissecção não é bijectiva.

2º exemplo (trissecção)

Neste caso, \alpha_0=\frac{1}{3}, \alpha_1=\frac{2}{3} e \alpha_j=0 para j>1, pelo que a matriz A tem exactamente n valores próprios complexos distintos, dados por \lambda_t\;=\;\frac{1+2\omega^t}{3}

para todo t\in \{0,...,n-1\}, sendo \omega uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem \lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;\frac{-1}{2}
sendo esta uma equação impossível para t\in \{0,...,n-1\}. Portanto, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo e a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de trissecção é bijectiva.

3º exemplo

Neste caso, dado algum valor de p entre 0 e 1, \alpha_{0}=1-p, \alpha_{1}=p e \alpha_{j}=0 para j>1, pelo que a matriz A tem exactamente n valores próprios complexos distintos, dados por \lambda_t\;=\;(1-p)+p\omega^t

para todo t\in \{0,...,n-1\}, sendo \omega uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem \lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\; \frac{1-p}{p}
sendo esta uma equação impossível para t\in \{0,...,n-1\} se \frac{1-p}{p}\neq 1, ou seja, se p\neq \frac{1}{2} (se p=\frac{1}{2}, então temos \alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2} e \alpha_{j}=0 para j > 1 o que já foi analisado no primeiro exemplo). Se p\neq \frac{1}{2}, então os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo (de facto, prova-se que o determinante de A é (1-p)^{n}-(-p)^{n}) e a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo é bijectiva. Note-se que, se p=\frac{2}{3}, então temos \alpha_0=\frac{1}{3}, \alpha_1=\frac{2}{3}, e \alpha_{j}=0 para j> 1, o que já tinha sido analisado no segundo exemplo.

4º exemplo

Neste caso, \alpha_1=\alpha_{n-1}=\frac{1}{2} e \alpha_{j}=0 para j\neq 1,n-1, pelo que a matriz A tem n valores próprios complexos (não necessariamente distintos), dados por \lambda_t\;=\;\frac{\omega^t+\omega^{(n-1)t}}{2} \;=\;\frac{\omega^t+\omega^{-t}}{2}\;=\;\cos\frac{2\pi t}{n}

para todo t\in \{0,...,n-1\}, \omega uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem \lambda_t\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;\omega^t\;=\;-\omega^{-t} \;\Longleftrightarrow\; \omega^{2t}\;=\;-1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4\pi t}{n}\;=\;\pi \;\Longleftrightarrow\; 4t\;=\;n
Portanto, se n não é múltiplo de 4, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo. Se n é múltiplo de 4, então \lambda_{n/4}=0 e o determinante de A é 0, pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo não é bijectiva.