Caminhos numa superfície 
Plano projectivo - Conhecer a superfície
Formação da superfície:
O plano projectivo é uma superfície que pode ser obtida a partir do plano (usual) acrescentando uma recta de infinito. Sobre esta recta incidem os pontos de infinito, que podem ser vistos como os pontos de intersecção de rectas paralelas, um por cada direcção. Assim, em geometria projectiva, ao invés de dizermos que rectas paralelas não se intersectam, dizemos que se intersectam num ponto da recta do infinito.
Para cada recta, o seu ponto no infinito pode ser visto como o local de encontro dos seus extremos. E, analogamente, a recta de infinito pode ser vista como o local de encontro dos "lados" do plano.
Uma forma de construir a superfície é pela identificação conveniente dos lados de um rectângulo. Esta identificação une os pontos dos lados paralelos, trocando a orientação. Fisicamente, consiste em colar cada lado ao seu oposto, torcendo-o, previamente, com uma meia-volta.
A superfície assim construída vai ter auto-intersecções, mas isso é uma inevitabilidade quando queremos considerar o plano projectivo no espaço tridimensional.
A superfície tridimensional que aqui vamos considerar é obtida por manipulação algébrica. Para perceber melhor a sua forma, pode nas seguintes apps acompanhar animações da sua construção.
Modelo do círculo
Uma outra forma de construir a superfície é considerar uma semi-esfera e identificar/colar os pontos do bordo diametralmente opostos. (Ou ainda, considerar uma esfera completa, identificando todos os pontos diametralmente opostos.) Este modelo pode também ser associado a uma representação bidimensional a partir de um círculo. No modelo do círculo os caminhos podem ser desenhados no seu interior "sem problemas", sendo a sua particularidade visível apenas quando os caminhos tocam o bordo. A identificação dos pontos do bordo faz com que um caminho que "quer sair" do círculo por um dado ponto "volte a entrar" pelo ponto diametralmente oposto. Aqui os pontos do bordo representam os pontos do infinito.
\(c\circ c=e\)
Uma particularidade do plano projectivo é que, apesar de haver caminhos não homotópicos a uma constante, cada caminho (fechado) composto consigo mesmo é sempre homotópico a um caminho constante. Note-se que para um caminho poder ser composto consigo mesmo tem de ser fechado, pois o ponto final do primeiro factor tem de ser igual ao ponto inicial do segundo (que é o ponto inicial do caminho). Ser homotópico a um caminho constante significa que pode ser contraído continuamente num ponto (o ponto inicial). Considerando o modelo do círculo, se o caminho em causa estiver totalmente no interior do círculo (isto é, sem tocar no bordo), estamos a trabalhar como no plano (usual) e, portanto, qualquer caminho fechado pode ser contraído num ponto. Os "problemas" poderiam surgir quando o caminho passa nos pontos do bordo... A app que se segue procura expor essa situação, permitindo observar uma animação de uma possível deformação contínua que consuma essa contracção.
