Caminhos numa superfície 
No plano projectivo...
Instruções
Na figura estão representadas dois caminhos sobre uma superfície representativa do plano projectivo. Junto à superfície há dois segmentos (um abaixo e outro à esquerda) onde pode controlar os pontos \(\mbox{rot }x\) e \(\mbox{rot }z\) que rodam a superfície, possibilitando, assim, a visualização dos caminhos sob um outro ponto de vista.
No canto inferior direito está representada uma esfera cuja longitude e latitude dos pontos assinalados dará origem aos pontos da superfície. Para que essa aplicação seja injectiva identificamos previamente os pontos diametralmente opostos na esfera.
A latitude e longitude dos pontos da esfera são controladas na grelha abaixo da superfície. Note-se que os pólos da esfera, não têm uma escrita única à custa da latitude e da longitude, pois independentemente da longitude considerada, sempre que a latitude é, por exemplo, \(\frac{\pi}{2}\) o ponto em questão é um pólo. Assim, é importante notar que os segmentos azuis da grelha correspondem aos pólos da esfera, que (por serem diametralmente opostos) dão origem a um só ponto na superfície - também assinalado a azul. Os pontos assinalados a cinzento na grelha correspondem a escolhas de latitude e longitude que originam na esfera o ponto final dos caminhos, ou o seu oposto, o que equivale a dizer que correspondem ao ponto final dos caminhos na superfície.
Junto à superfície estão dois números (um para cada caminho), que identificam a classe de equivalência dos caminhos. Estes números referem-se aos caminhos fechados correspondentes aos caminhos inicial e final obtidos por completamento com o segmento que une o ponto final ao ponto inicial; e é \(0\) se é deformável num ponto ou \(1\) se é deformável num caminho fechado não homotópico a uma constante.
Existe também um segmento vertical no qual é seleccionada a acção que deseja efectuar:
- Mudar escala: Surge sobre a grelha um ponto vermelho que pode mover horizontalmente, de forma a alargar ou apertar a malha da grelha. A mudança de escala da grelha, permite, de forma mais cómoda, analisar curvas que dão várias voltas à superfície.
- Mover pontos: Para modificar os caminhos clique e arraste os pontos assinalados na grelha, controlando, assim, a longitude e latitude dos pontos assinalados na superfície.
- Terminar caminhos: A cada caminho é acrescentado na grelha um (o menor) segmento que completa o caminho associada na superfície até ao ponto final.
- Ver deformação: Surge à direita da superfície um segmento vertical com dois pontos (um para cada caminho). Movendo os pontos verticalmente pode vizualizar deformações dos caminhos em causa noutras "mais simples", facilitando, assim, a descoberta da existência ou não de homotopia entre os caminhos. No caso da não existência, surge a indicação (em cima) de que Os caminhos não são homotópicos!
