ATRACTOR

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\)

Consideremos, no espaço vectorial \(M\) de dimensão \(9\) constituído pelas matrizes \(3\times3\), o produto interno usual (identificação com \(\mathbb{R}^{9}\)).

Notemos \(M_{sim}\) o subespaço vectorial de dimensão \(6\) de \(M\) constituído pelas matrizes simétricas e \(M_{sim1}\) o subespaço afim de dimensão \(5\) deste último formado pelas matrizes simétricas de traço \(1\).

O espaço projectivo \(\mathbb{P}^{2}(\mathbb{R})\) é difeomorfo a um subconjunto \(P^{2}(\mathbb{R})\) de \(M_{sim1}\) pelo difeomorfismo \(\varphi\) que a cada subespaço vectorial de dimensão \(1\) de \(\mathbb{R}^{3}\) associa a matriz da projecção ortogonal de \(\mathbb{R}^{3}\) sobre esse subespaço. Se \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\) tem norma \(1\), a matriz que corresponde ao subespaço vectorial gerado por \((x,y,z)\) é a matriz \[\left(\begin{array}{ccc} x^{2} & xy & xz\\ yx & y^{2} & yz\\ zx & zy & z^{2} \end{array}\right).\]

De facto, a imagem \(P^{2}(\mathbb{R})\) do espaço projectivo está contida na intersecção com \(M_{sim1}\) da hipersuperfície esférica \(S\) de centro \(O\) e raio \(1\) de \(M_{sim}\).

Um dos elementos de \(S\cap M_{sim}\) que não pertence a \(P^{2}(\mathbb{R})\) é a matriz \[A=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right).\]

A projecção estereográfica \(\psi\), a partir de \(A\), é um difeomorfismo de \(S\setminus\left\{ A\right\}\) sobre o subespaço vectorial \(F\) de dimensão \(5\) de \(M_{sim}\) constituído pelas matrizes simétricas ortogonais a \(A\) e está definida explicitamente por \[\psi(X)=A+\frac{1}{1-\left\langle X,A\right\rangle }(X-A).\]

Ela aplica \(P^{2}(\mathbb{R})\) no subespaço afim \(F\cap M_{sim1}\) de dimensão \(4\) de \(M_{sim}\), constituído pelas matrizes \[Y=\left(\begin{array}{ccc} y_{1,1} & y_{1,2} & y_{1,3}\\ y_{2,1} & y_{2,2} & y_{2,3}\\ y_{3,1} & y_{3,2} & y_{3,3} \end{array}\right)\]que verificam as condições \(y_{1,1}+y_{2,2}+y_{3,3}=1\) e \(y_{1,2}+y_{1,3}+y_{2,3}=\frac{1}{2}\).

Chegados a este ponto iniciamos uma fase da tentativa: Para tentar meter o projectivo em \(\mathbb{R}^{3}\) (naturalmente com auto-intersecções mas, se possível, sem muita maldade) experimentamos compor o difeomorfismo \(\psi\circ\varphi\) com uma aplicação afim de \(F\cap M_{sim1}\) para \(\mathbb{R}^{3}\) que se revele razoável. A segunda tentativa corresponde a considerar a aplicação afim que à matriz \(Y\) associa \((y_{1,1},y_{1,2}+y_{2,3},y_{3,3})\). Depois de compor ainda com uma translação de \(\mathbb{R}^{3}\) (que equivale a ignorar a parcela \(A\) de \(\psi(X)\) ), obtemos a aplicação de \(\mathbb{P}^{2}(\mathbb{R})\) que a cada subespaço vectorial gerado pelo vector \((x,y,z)\) de norma \(1\), com a correspondente matriz \[X=\left(\begin{array}{ccc} x^{2} & xy & xz\\ yx & y^{2} & yz\\ zx & zy & z^{2} \end{array}\right),\]associa a imagem, pela aplicação afim, da referida matriz \[ \frac{1}{1-\left\langle X,A\right\rangle }(X-A) = \\ =\frac{3}{3-(x^{2}-2xy-2xz+y^{2}-2yz+z^{2})}\left(\begin{array}{ccc} x^{2}-\frac{1}{3} & xy+\frac{1}{3} & xz+\frac{1}{3}\\ yx+\frac{1}{3} & y^{2}-\frac{1}{3} & yz+\frac{1}{3}\\ zx+\frac{1}{3} & zy+\frac{1}{3} & z^{2}-\frac{1}{3} \end{array}\right)=\\ =\frac{3/2}{1+xy+xz+yz}\left(\begin{array}{ccc} x^{2}-\frac{1}{3} & xy+\frac{1}{3} & xz+\frac{1}{3}\\ yx+\frac{1}{3} & y^{2}-\frac{1}{3} & yz+\frac{1}{3}\\ zx+\frac{1}{3} & zy+\frac{1}{3} & z^{2}-\frac{1}{3} \end{array}\right) \]

Consideremos enfim o espaço projectivo como imagem do hemisfério norte da superfície esférica unitária de centro na origem de \(\mathbb{R}^{3}\), parametrizada pela latitude \(u\in[0,\frac{\pi}{2}]\) e pela longitude \(v\in[0,2\pi]\), através de \[\begin{array}{ccl} x & = & \cos(u)\cos(v)\\ y & = & \cos(u)\sen(v)\\ z & = & \sen(u), \end{array}\] o que conduz à parametrização da imagem do espaço projectivo, que a \((u,v)\) associa o elemento de \(\mathbb{R}^{3}\) com as três coordenadas \[\begin{array}{c} \frac{3(\cos^{2}(u)\cos^{2}(v)-\frac{1}{3})}{2(\cos(v)\sen(v)\cos^{2}(u)+\cos(v)\sen(u)\cos(u)+\sen(u)\sen(v)\cos(u))}\\ \\ \frac{3(\cos(v)\sen(v)\cos^{2}(u)+\sen(u)\sen(v)\cos(u)-\frac{2}{3})}{2(\cos(v)\sen(v)\cos^{2}(u)+\cos(v)\sen(u)\cos(u)+\sen(u)\sen(v)\cos(u))}\\ \\ \frac{3(\sen^{2}(u)-\frac{1}{3})}{2(\cos(v)\sen(v)\cos^{2}(u)+\cos(v)\sen(u)\cos(u)+\sen(u)\sen(v)\cos(u))} \end{array}\]