ATRACTOR

Numa superfície, fixando os pontos inicial e final, podemos considerar o conjunto das classes de homotopia dos caminhos entre esses dois pontos. Se os pontos coincidirem (isto é, se os caminhos forem fechados), podemos operar elementos desse conjunto, pois o ponto final de um caminho é o ponto inicial de outro. E, além disso, o caminho produto que daí resulta é, ainda, um caminho fechado a partir do ponto considerado - matematicamente, diz-se que a operação é fechada para o conjunto. Sabemos também que a operação é associativa, tem elemento neutro e todo o elemento tem inverso no conjunto (pois o ponto inicial e final são iguais). Assim, o conjunto das classes de homotopia de caminhos fechados a partir de um ponto - ponto básico - (com a operação) diz-se, matematicamente, um grupo, designado por grupo fundamental do espaço relativamente ao ponto.

Mostra-se que, nas superfícies conexas por caminhos (como são todas as que considerámos), o grupo fundamental não varia com a escolha do ponto básico (a menos de um isomorfismo) e, portanto, faz sentido falar em grupo fundamental da superfície. E, depois de analisar o grupo fundamental da superfície, é útil, se possível, identificar uma estrutura de grupo já conhecida que lhe seja isomorfa.

Plano\[\left\{\left\{0\right\},+\right\}\]

0

Esfera\[\left\{\left\{0\right\},+\right\}\]

0

Cilindro\[\left\{ \mathbb{Z},+\right\}\]

Toro\[\left\{ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z},+\right\}\]

Tira de Moebius\[\left\{ \mathbb{Z},+\right\}\]

Plano projectivo\[\left\{\left\{0,1\right\},+\right\}\]