Caminhos numa superfície 
Operação
Se durante uma hora percorrermos um caminho e durante outra hora percorrermos outro, o que acontece se apenas numa hora quisermos percorrer os dois? A resposta é simples: temos de seguir os mesmos trilhos, mas mais depressa! O primeiro caminho, que havia sido percorrido numa hora, agora tem de ser percorrido em meia, para que ainda nos reste outro tanto de tempo para o segundo caminho.
Este é o princípio da operação de caminhos. Dados dois caminhos contíguos (ou seja, em que o início do segundo coincide com o fim do primeiro), o caminho produto corresponde ao percurso consecutivo de cada um deles com o dobro da velocidade. Note-se que a contiguidade dos caminhos é importante para garantir a continuidade do caminho produto e o aumento da velocidade impõe-se pois queremos que o tempo total (o domínio) se mantenha.
Matematicamente, dizemos que, dados dois caminhos \(f_{1}\) e \(f_{2}\) de \([0,1]\) em \(S\), com \(f_{2}(0)=f_{1}(1)\), \(g=f_{1}.f_{2}\) é um caminho de \([0,1]\) em \(S\) tal que: \[g(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f_{1}(2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f_{2}(2(t-0.5)) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array} & =\end{cases}\\=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f_{1}(2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f_{2}(2t-1) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\;\;\;\;\end{cases}\]
Se pensarmos nos elásticos graduados, a questão põe-se em como fazer com que apenas com um elástico possamos percorrer os pontos antes percorridos com dois elásticos (do mesmo comprimento). E a resposta é, mais uma vez, simples: temos de esticar o elástico! Nas apps que se seguem, o esticar do elástico é visível na coloração; admitindo que inicialmente os elásticos são todos iguais, se uma cor fica visível num maior comprimento isso significa que o elástico está mais esticado nessa zona.
Uma chamada de atenção para as proporções do aumento da velocidade. No que dissemos, a velocidade dobra para cada um dos caminhos, mas, à partida, não teria de ser obrigatoriamente assim... Ao dispormos de uma hora, podíamos, por exemplo, percorrer o primeiro caminho em três quartos de hora e o segundo apenas em 15 min... Aqui a relação das velocidades seria diferente; já não seria de \(2:1\) em ambos os caminhos, mas sim de \(4:3\) no primeiro e e de \(4:1\) no segundo, e o caminho final seria diferente daquele obtido pela transformação acima! No entanto, os dois resultados são homotópicos (por uma homotopia apenas de coloração). A escolha pela proporção \(2:1\) acima é preferida por ser a mais natural.
Analisemos agora três propriedades básicas da operação nas classes de homotopia.
