ATRACTOR

Uma superfície conexa por caminhos pode ser caracterizada pelo facto de, dados dois quaisquer dos seus pontos, conter um caminho que os une. E, mostra-se, então, que, nas superfícies conexas por caminhos, o grupo fundamental não varia com a escolha do ponto básico (a menos de um isomorfismo).

A ideia é simples. Dados dois pontos, \(P\) e \(Q\), de uma superfície (conexa por caminhos), consideramos um caminho \(g\) que vai de \(P\) a \(Q\) - que existe, porque a superfície é conexa por caminhos. E cada caminho \(f\) fechado com base em \(P\) compomos da seguinte forma: \[f\rightarrow g^{-1}.f.g\]

Este novo caminho começa em \(Q\), vai até \(P\) (por \(g^{-1}\)), percorre \(f\) (regressando a \(P\)) e volta a \(Q\) (por \(g\)); ou seja, é um caminho fechado com base em \(Q\).

Dada, então, uma classe de homotopia \(b\) de caminhos que ligam \(P\) a \(Q\), consideramos a aplicação \(\varphi_{b}\), do grupo fundamental relativamente a \(P\) no grupo fundamental relativamente a \(Q\), dada por \(\varphi_{b}(a)=b^{-1}.a.b\), onde \(a\) é uma classe de homotopia de caminhos fechados com base em \(P\) (e \(\varphi_{b}(a)\) é uma classe de homotopia de caminhos fechados com base em \(Q\)). Mostra-se que esta aplicação é um isomorfismo e, portanto, os conjuntos das classes de equivalência - grupos fundamentais - com base em \(P\) e em \(Q\) são isomorfos.

Notemos, por fim, que o isomorfismo depende da escolha da classe de homotopia \(b\) e é por isso que não é um isomorfismo canónico.