Dinâmica de uma família de exponenciais 
Comportamento da sucessão
De facto, se a sucessão \(c^c, c^{c^c}, c^{c^{c^c}},\ldots\) convergir para um real \(a=a(c) \,\in\,\,\, ]1,e[\), então, por continuidade da função exponencial, tem-se \(c^{a}=a\). Isto é, \(c=a^{\frac{1}{a}}\). E, portanto, se \(g:\,\, ]1,e^{\frac{1}{e}}[ \,\to\, ]1,e[\) é a função que a cada \(c\) associa o limite da sucessão \(c^c, c^{c^c}, c^{c^{c^c}},\ldots\), tem-se \(g(f(a))=a\) para todo o \(a \,\in\,\,\,]1,e[\) e \(f(g(c))=c\) para todo o \(c \,\in\,\,\,]1,e^{\frac{1}{e}}[.\) Resta-nos confirmar que, para estes valores de \(c\), a sucessão \(c^c, c^{c^c}, c^{c^{c^c}},\ldots\) converge e o limite está em \(]1,e[\).
Fig 3: Órbitas de \(1\) por \(H_c\)
Analisemos na figura 3 o comportamento da sucessão \(c^c, c^{c^c}, c^{c^{c^c}},\ldots\) para \(c>0\). Esta sucessão é a órbita de \(1\) pelo sistema dinâmico gerado pela função \(H_c:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(H_c(x)=c^x\), isto é, a sucessão \(\left(H^n_c(1)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\), sendo \(H^n_c=H_c \circ H_c \circ \ldots \circ H_c\) a composição de \(H_c\) consigo mesma \(n\) vezes, se \(n \in \mathbb{N}\), e \(H^0_c=\text{função identidade de } \mathbb{R}\). Os iterados da função \(H_c\) sugerem que, no que respeita ao comportamento assimptótico da órbita de \(1\), o domínio \(\mathbb{R}^+\) dos valores de \(c\) se divide em três regiões \[\mathcal{C}_2 = \,\,\left]0,\,\frac{1}{e^e}\right[, \quad \quad \mathcal{C}_1 = \,\left[\frac{1}{e^e}, \,e^{\frac{1}{e}}\right] \quad \quad \text{e} \quad \quad \mathcal{C}_\infty = \,\,\left]e^{\frac{1}{e}}, \,+\infty\right[\] tais que, se \(c \in \mathcal{C}_\infty\), então o limite de \(\left(H^n_c(1)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) é \(+\infty\); se \(c \in \mathcal{C}_1\), então a sucessão \(\left(H^n_c(1)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) converge e o limite é um ponto fixo de \(H_c\), que pertence a \(]1,e[\) quando \(c \,\in \,\,\,]1,\,e^{\frac{1}{e}}[\); se \(c \in \mathcal{C}_2\), então a sucessão \(\left(H^n_c(1)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) tem dois pontos de acumulação, \(\ell_1=\ell_1(c)\) e \(\ell_2=\ell_2(c)\), que formam uma órbita periódica de \(H_c\) com período \(2\) (isto é, \(H_c(\ell_1)=\ell_2\) e \(H_c(\ell_2)=\ell_1\)). Em particular, concluímos que a abcissa do ponto \((a,b)\) do traço da curva \(\alpha\) tal que \(b > e\) satisfaz a equação \[a =g(f(a))=g(f(b))= g(b^{\frac{1}{b}}) = {b^{\frac{1}{b}}}^{{b^{\frac{1}{b}}}^{{b^{\frac{1}{b}}}^{{b^{\frac{1}{b}}}^{.^{.^{.}}}}}}\]
