Dinâmica de uma família de exponenciais 
O gráfico de f
Esta função tem um máximo global \(e^{1/e}\), atingido apenas em \(x = e\), e é estritamente crescente em \(]0,e[\) e estritamente decrescente em \(]e,+\infty[\). Além disso, \(\lim_{x\to 0^+}\,f(x)=0^+\) e \(\lim_{x\to +\infty}\,f(x)=1^+\). Logo, cada reta horizontal \(y = c\) com \(1<c<e^{1/e}\) (e só para estes valores de \(c\)) intersecta o gráfico de \(f\) em dois pontos cujas abcissas determinam dois reais positivos distintos \(a\) e \(b\) tais que \(a^{\frac{1}{a}}=b^{\frac{1}{b}}\), ou seja, \(a^b=b^a\). Para descrever o lugar geométrico de tais pares \((a,b)\), usemos o feixe de rectas \(y=tx\) com declive \(t \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\) como um radar para os detectar no 1º quadrante de \(\mathbb{R}^2\). Para cada \(t\), determinamos a intersecção das condições \(y=tx\) e \(x^y=y^x\) resolvendo em conjunto as equações \(\frac{y}{x}=t\) e \(x^{\frac{y}{x}}=y\); as soluções descrevem a curva \(\alpha\) em \((\mathbb{R}^+)^2\) representada na figura 2 e parametrizada por \[t \in \mathbb{R}^+\setminus\{1\} \quad \mapsto \quad \left(t^{\frac{1}{t-1}}, t^{\frac{t}{t-1}}\right).\] O traço de \(\alpha\) é simétrico relativamente à bissectriz do 1º quadrante uma vez que, se fixarmos \(t>0\) e o par correspondente \((a,b)=\left(t^{\frac{1}{t-1}}, t^{\frac{t}{t-1}}\right)\) de \(\alpha\), então \(\frac{1}{t}\) determina o ponto \((b,a)\) da mesma curva. Além disso, \(\alpha(t)\) converge para \((e,e)\) quando \(t\) tende para \(1\). Note-se ainda que as coordenadas dos pontos desta curva são ambas estritamente maiores do que \(1\), propriedade que resulta de só surgirem tais pares com abcissas no subconjunto \(]1,+\infty[\) do domínio da função \(f\). Se ao traço de \(\alpha\) juntarmos a semirecta \(\{(a,a): a \in \mathbb{R}^+\}\), obtemos o conjunto \(\mathcal{A}\) de todos os pares \((a,b) \in (\mathbb{R}^+)^2\) tais que \(a^b=b^a\).
Fig 2: Traço da curva \(\alpha\) e o conjunto \(\mathcal{A}\)
Os dois ramos de \(\mathcal{A}\) intersectam-se precisamente em \((e,e)\) e dividem \((\mathbb{R}^+)^2\) em quatro regiões em cada uma das quais o sinal da diferença \(a^b-b^a\) se mantém constante. Em particular, como a recta vertical \(x=e\) só intersecta as regiões em que este sinal é positivo, concluímos que, para todo o \(0<x\neq e\), se tem \(e^x > x^e\) (de que a desigualdade \(e^\pi > \pi^e\) é talvez o caso mais famoso).
A abcissa de cada ponto \((a,b)\) do traço de \(\alpha\) satisfazendo \(e<b\) é a imagem de \(f(b)\) pela inversa da restrição da função \(f\) ao intervalo \(]0,e[\). Mais precisamente, dado \(c \,\in\,\,\, ]1,e^{\frac{1}{e}}[\), existe um e um só \(b > e\) tal que \(f(b)=b^{\frac{1}{b}}=c\); se agora resolvermos a equação \(a^{\frac{1}{a}}=c\) com a incógnita \(a \,\in\,\,\,]1,e[\), determinamos o outro valor do domínio de \(f\), \(1<a<e\), tal que \(f(a)=f(b)=c\). E é precisamente este valor único \(a\) de \(]1,e[\) que nos leva de volta à questão inicial de Condorcet.
