Dinâmica de uma família de exponenciais 
Demonstração
No que se segue, pode ler uma demonstração da afirmação seguinte:
No que respeita ao comportamento assimptótico da órbita de \(x \in \mathbb{R}\), o domínio \(\mathbb{R}^+\) dos valores de \(c\) divide-se em três regiões \[\mathcal{C}_2 = \,\,\left]0,\,\frac{1}{e^e}\right[, \quad \quad \mathcal{C}_1 = \,\left[\frac{1}{e^e}, \,e^{\frac{1}{e}}\right] \quad \quad \text{e} \quad \quad \mathcal{C}_\infty = \,\,\left]e^{\frac{1}{e}}, \,+\infty\right[\] tais que:
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Se \(c \in \mathcal{C}_\infty\), então o limite de \(\left(H^n_c(x)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) é \(+\infty\).
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Se \(c \in \mathcal{C}_1\), então a sucessão \(\left(H^n_c(x)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) converge.
Como a função \(H_c\) é contínua, o limite tem de ser um ponto fixo de \(H_c\). Esse limite pertence a \(]1,e[\) quando \(c \,\in \,\,\,]1,\,e^{\frac{1}{e}}[\). -
Se \(c \in \mathcal{C}_2\), então a sucessão \(\left(H^n_c(x)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) tem dois pontos de acumulação, \(\ell_1=\ell_1(c)\) e \(\ell_2=\ell_2(c)\), que formam uma órbita periódica de \(H_c\) com período \(2\) (isto é, \(H_c(\ell_1)=\ell_2\) e \(H_c(\ell_2)=\ell_1\)).
Comecemos por notar que, como para qualquer \(x \in \mathbb{R}\) se tem \(H_c(x)>0\), para provarmos a afirmação anterior basta considerar \(x > 0\).
