Dinâmica de uma família de exponenciais 
Convergência para valores complexos
A pergunta sobre a convergência da sucessão \(c^c, c^{c^c}, c^{c^{c^c}},\ldots\) pode colocar-se também para valores complexos de \(c \neq 0\).
Nota: a extensão da função exponencial aos números complexos (\(a + i b\), sendo \(a\) e \(b\) reais) dada por \(e^{a + i b} = e^a (\cos(b) + i \sen(b))\) não é injectiva, por causa da presença das funções cosseno e seno. Por exemplo, \(e^{i \pi} = e^{i 3 \pi} = -1\). Por isso, não tem inversa. Mas é possível restringir a função exponencial complexa a uma parte relevante do domínio onde ela é injectiva (e há muitos destes subdomínios à escolha), e desse modo definir um logaritmo complexo (dito «um ramo do logaritmo»).
Ultrapassada a dificuldade inicial de escolher um ramo do logaritmo, podemos analisar como anteriormente a órbita de \(1\) pela função complexa \(\mathcal{H}_c: \,z \,\to\, c^z=e^{z \log(c)}\). Nas figuras 5 e 6, obtidas com um módulo interactivo, podem ver-se imagens aproximadas do conjunto \(\mathcal{M}\) dos números complexos \(c \neq 0\) tais que a órbita de \(1\) por \(\mathcal{H}_c\) é limitada. Estas imagens sugerem várias propriedades de \(\mathcal{M}\), algumas ainda por demonstrar. Por exemplo, destacam-se nele componentes \((D_k)_{k \in \mathbb{N}}\) tais que \(D_k\) agrupa os valores de \(c\) para os quais a sucessão \(c, c^c, c^{c^c}, c^{c^{c^c}},\ldots\) tem exactamente \(k\) pontos de acumulação, que formam uma órbita periódica de período \(k\) por \(\mathcal{H}_c\). Não se sabe se a união \(\bigcup_{k \,\in\, \mathbb{N}}\, D_k\) é densa no plano.
Fig 5: \(D_1\), alguns períodos e a órbita de \(1\) para \(H_{c_{i}}\) , para \(i= 1,2,3,4\)
Fig 6-1: Detalhe do rectângulo à direita, a tracejado, na figura 5
Fig 6-2: Ampliação do rectângulo tracejado na figura 6-1.
