Dinâmica de uma família de exponenciais 
Demonstração - caso 6
\(\frac{1}{e} \leq c < 1\)
Uma vez que, quando \(c < 1\), a função \(H_c\) é estritamente decrescente, para cada \(x \neq \eta\) as subsucessões dos termos pares \(\left(H_c^{2n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}_0}\) e dos termos ímpares \(\left(H_c^{2n+1}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}_0}\) da órbita de \(x\) por \(H_c\) são monótonas e limitadas, logo convergentes (para \(\ell_1\) e \(\ell_2\), respectivamente). Como \(H_c\) é contínua, estes limites verificam as igualdades \[H_c^2(\ell_1)=\ell_1 \quad \text{ e } H_c(\ell_1)=\ell_2.\] Calculemos, por isso, os pontos fixos de \(H_c^2\), isto é, as soluções \(t\) da equação \(c^{c^t}=t\).
Fig 5: Gráficos da funções \(H_c\), \(H_c^2\) e Identidade quando \(\frac{1}{e} \leq c < 1\)
Comecemos por notar que a função \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \[g(t)= H_c^2(t) - \text{Identidade}(t)=c^{c^t} - t\] tem derivada igual a \[g^\prime(t)= (\log c)^2 c^t c^{c^t} - 1.\] Em particular, \(g^\prime(0) = c(\log c)^2 - 1\). Além disso, como \(c \geq \frac{1}{e}\), tem-se \(c(\log c)^2 - 1 \leq 0\), uma vez que \[\frac{1}{e} \leq c < 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq \log c < 0 \quad \Rightarrow \quad 0 < (\log c)^2 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad c(\log c)^2 \leq c < 1.\] Observe-se ainda que, se \(t > 0\), \[g^{\prime \prime}(t) = (\log c)^3 c^t c^{c^t}\left(1+c^t \log c\right) < 0\] dado que \(c < 1\) e
- a função \(i: t \to 1+c^t \log c\) tem derivada \((\log c)^2 c^t > 0\);
- \(i(0)=1+ \log c\);
- \(1+\log c \geq 0\) por ser \(c \geq \frac{1}{e}\).
Consequentemente, a função \(g^\prime\) decresce estritamente em \(]0, +\infty[\) e, como \(g^\prime(0) \leq 0\), \(g^\prime < 0\) em \(]0, +\infty[\). Logo, a função \(g\) é estritamente decrescente e, portanto, só se pode anular uma vez. Finalmente, tendo em conta que \[g(\eta)=c^{c^\eta}-\eta =c^{\eta}-\eta = \eta - \eta =0\] concluímos que \(\ell_1 = \eta = \ell_2\) e que \[\lim_{n \to +\infty}\, H_c^n(x) = \eta \quad \forall \,\,x \in \mathbb{R}.\]
