ATRACTOR

\(c>e^{\frac{1}{e}}\)

Para estes valores de \(c\), pretende-se provar que, para todo o \(x>0\), o limite de \(\left(H^n_c(x)\right)_{n \, \in \, \mathbb{N}_0}\) é \(+\infty\). Para isso, verificaremos que, para cada \(x>0\), a órbita de \(x\) por \(H_c\) é estritamente crescente e que existe \(D>0\) tal que a diferença entre dois quaisquer termos consecutivos desta sucessão é pelo menos \(D\).

Primeiro, observe-se que se tem \(\log(x) \leq \frac{x}{e}\) para todo o \(x>0\), e que a igualdade se dá se e só se \(x=e\). De facto, a função \[x > 0 \quad \mapsto \quad g(x)=\log(x)-\frac{x}{e}\] é derivável, \(g^\prime(x) = \frac{1}{x} -\frac{1}{e}\) e \[g^\prime(x) > 0 \quad \text{se } x < e; \quad \quad g^\prime(e)=0; \quad \quad g^\prime(x) < 0 \quad \text{se } x > e.\] Logo \(g\) tem um máximo global em \(x=e\), e só neste ponto, cujo valor é \(g(e)=0\). Daqui resulta que, se \(c>e^{\frac{1}{e}}\), então a órbita de \(x >0\) por \(H_c\) é uma sucessão estritamente crescente uma vez que \[c>e^{\frac{1}{e}} \quad \Rightarrow \quad \log c > \frac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad x \log c > \frac{x}{e}\] e \[\frac{x}{e}\geq \log x\] logo \[x < H_c(x).\] Repetindo o argumento anterior para \(H_c(x)\), que é positivo, obtemos \(H_c(x) < H^2_c(x)\); e assim sucessivamente.
Verifiquemos agora que, quando \(c>e^{\frac{1}{e}}\), existe \(D>0\) tal que \(c^x - x \geq D\) para todo o \(x \geq 0\). A função \(h:x \in \mathbb{R} \mapsto c^x - x\) é derivável e \[c \geq e\,\, \text{ e } \,\,x > 0 \quad \Rightarrow \quad h^\prime(x) = (\log c) c^x - 1 \geq c^x - 1 > 0.\] Logo a restrição da função \(h\) a \([0, +\infty[\) atinge um mínimo global em \(x=0\), que vale \(h(0)=1\). Quando \(e^{\frac{1}{e}} < c < e\), a derivada \(h^\prime\) anula-se em \(-\frac{\log(\log c)}{\log c}\), valor que é positivo uma vez que \(c < e\). Além disso, \(h^\prime(x) <0\) se \(0 \leq x < -\frac{\log(\log c)}{\log c}\), e \(h^\prime(x) > 0\) se \(x > -\frac{\log(\log c)}{\log c}\). Consequentemente, a restrição da função \(h\) a \([0, +\infty[\) atinge um mínimo global em \(-\frac{\log(\log c)}{\log c}\). Isto é, \[e^{\frac{1}{e}} < c < e \quad \Rightarrow \quad h(x) \geq h(-\frac{\log(\log c)}{\log c}) = \frac{1+\log(\log c)}{\log c} \quad \forall \,\,x \geq 0.\] Seja \(D=\frac{1+\log(\log c)}{\log c}\). Por ser \(e^{\frac{1}{e}} < c\), tem-se \(1+\log(\log c)>0\) e \(\log c > 0\), logo \(D>0\). Além disso, \(D < 1\) pois, como \(\log c > 0\), \[\frac{1+\log(\log c)}{\log c} < 1 \Leftrightarrow 1+\log(\log c)< \log c \Leftrightarrow 1 < \log\left(\frac{c}{\log c}\right) \Leftrightarrow \\ e < \frac{c}{\log c} \Leftrightarrow e \log c < c \Leftrightarrow c^e < e^c\] e já verificámos (veja-se o artigo na Gazeta) que, sendo \(0 < c \neq e\), se tem \(e^c > c^e\).
Concluímos assim que, se \(c>e^{\frac{1}{e}}\), temos \(h(x) \geq D\) para todo o \(x \geq 0\). E, portanto, para todo o \(n \in \mathbb{N}\), \begin{eqnarray*} H_c^{n}(x) &=& \left(H_c^{n}(x) - H_c^{n-1}(x)\right) + \left(H_c^{n-1}(x) - H_c^{n-2}(x)\right)+ \cdots + \\ &+& \left(H_c^{2}(x) - H_c(x)\right) + H_c(x) \\ &>& (n-1) D \quad \rightarrow + \infty \quad \text{ quando \(n\) tende para \(+\infty\)}. \end{eqnarray*}

Fig 1: Gráficos das funções \(H_c\) e identidade quando \(c>e^{\frac{1}{e}}.\)

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