ATRACTOR

$c=1$

Neste caso, para todo o $x \in \mathbb{R}$ temos $H_1(x)=1$ e, portanto, $1$ é atractor global de $H_1$.

Fig 4: Gráficos da funções $H_1$ e Identidade.

$0<c<1$

Quando $0 < c < 1$, a função $h$ é estritamente decrescente uma vez que, sendo $\log c <0$, se tem $$h^\prime(x)=\left(c^x - x\right)^\prime = (\log c) c^x - 1 < 0.$$ Além disso, $h(0) = 1$ e $h(1) = c-1 < 0$, logo $h$ tem um e um só zero, que está em $]0,1[$. Designemos por $\eta$ este ponto fixo de $H_c$.
O comportamento assimptótico das órbitas por $H_c$ de pontos numa vizinhança de $\eta$ depende essencialmente da derivada de $H_c$ em $\eta$. Ora, $$H^\prime_c(\eta) = (\log c) c^\eta = (\log c) \eta = \log \eta <0$$

• $|\log \eta| < 1 \quad \Leftrightarrow \quad -1 < \log \eta \quad \Leftrightarrow \quad \eta > \frac{1}{e}.$
• $\eta > \frac{1}{e} \quad \Leftrightarrow \quad \log c = \frac{\log \eta}{\eta} > - \frac{1}{\eta} \quad \Rightarrow \quad \log c > -e \quad \Leftrightarrow \quad c > \frac{1}{e^e}.$
• $c > \frac{1}{e^e} \quad \Rightarrow \quad h(\frac{1}{e}) = c^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{e} > (\frac{1}{e^e})^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{e} = e^{-1} - \frac{1}{e} > 0 \quad \Rightarrow \quad \eta > \frac{1}{e}.$
• $c = \frac{1}{e^e} \quad \Leftrightarrow \quad \eta = \frac{1}{e}$
• $H^\prime_{\frac{1}{e^e}}(\frac{1}{e}) = -1.$

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