Questão I

Notemos que, dado um número natural superior a \(1\), o conjunto dos seus divisores distintos de \(1\) tem pelo menos um elemento (nem que seja o próprio número).

Pensemos, então, na seguinte questão:

1. Dado um número maior do que \(1\), qual é o seu menor divisor (distinto de \(1\))?

No que se segue, sempre que falarmos em menor divisor estaremos a considerar que é diferente de \(1\).

Comecemos por pensar em exemplos concretos. Qual o menor divisor de 12? E de 21? E de 35?

Pode usar a seguinte aplicação interactiva, para mais facilmente responder às questões anteriores e tentar concluir algo mais geral... Ao clicar em "Ver os múltiplos de \(2\)" (respectivamente, \(3, 5, 7\)), os múltiplos de \(2\) (\(3, 5, 7\)) superiores a \(2\) (\(3, 5, 7\), respectivamente) são identificados com uma cor. É possível seleccionar simultaneamente mais do que uma opção. Por exemplo, se as opções "Ver os múltiplos de \(2\)" e "Ver os múltiplos de \(3\)" estiverem seleccionadas, os números que são múltiplos de \(2\) e de \(3\) serão marcados com as duas cores, e os que são múltiplos apenas de \(2\) ou apenas de \(3\) serão marcados com uma cor (a cor referente aos múltiplos de \(2\) ou aos de \(3\)).

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Usando a aplicação pode facilmente responder às questões anteriores. Basta que seleccione simultanemente as 4 opções (Ver múltiplos de \(2\), \(3\), \(5\) e \(7\)) e, olhando para cada número, veja quais as cores com que esse número está marcado e dessas identifique a cor que corresponde ao número menor. Por exemplo, para verificar qual o menor divisor de 30, depois de observar o número 30 na aplicação divisores primos de 30 , verifica-se que ele é múltiplo de 2, 3 e 5 (pois está marcado a rosa, azul e verde); portanto o seu menor divisor é o 2. Já o número \(45\) divisores primos de 35, está marcado a azul e a verde, logo é múltiplo de \(3\) e de \(5\), pelo que o seu menor divisor é o \(3\).

Se ainda não o fez, antes de avançar, identifique o menor divisor de 12, o de 21 e o de 35. Pode ainda fazer o mesmo para outros números.

Imaginemos, agora, que não tinhamos acesso à aplicação interactiva anterior. Como chegar à mesma conclusão?

\(12\) é par, isto é, é divisível por \(2\), logo este será o seu menor divisor.
Podemos concluir que o menor divisor de um par é o número \(2\).

Quanto ao \(21\), não é divisível por \(2\) (pois é ímpar) e é divisível por \(3\), porque \(3 \times 7=21\), logo \(3\) será o seu menor divisor.

Quanto ao \(35\), não é divisível por \(2\) (é ímpar), nem por \(3\), porque \(35:3=11\) (resto \(2\)). Como \(35\) não é divisível por \(2\), também não o é por \(4\). \(35\) é divisível por \(5\) (pois \(5 \times 7=35\)), logo \(5\) é o seu menor divisor.