ATRACTOR

Dado um certo número natural, os seus múltiplos (no conjunto dos números naturais) são todos os números que se obtêm multiplicando esse número por \(1, 2, 3, 4, 5, …\) , ou seja, por cada um dos números naturais. Dizer que um número é múltiplo de outro é equivalente a dizer que o segundo é divisor do primeiro. Com o mesmo sentido, também se diz que o primeiro é divisível pelo segundo.

O conjunto dos múltiplos de um número é, portanto, um conjunto infinito.

Por exemplo, os múltiplos de \(12\) obtêm-se multiplicando \(12\) por \(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , k, ...\) (\(k\) natural qualquer).

Podemos representar o conjunto dos múltiplos de \(12\) como se segue: \[M_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, … , 12 \times k, ... \}\;\;(k\mbox{ natural qualquer}).\]

Assim, podemos, por exemplo, afirmar que \(48\) é múltiplo de \(12\), porque há um inteiro — \(4\) — que multiplicado por \(12\) dá \(48\). A afirmação "\(48\) é múltiplo de \(12\)" equivale a \(48\) é divisível por \(12\) ou, ainda, a \(12\) é um divisor de \(48\). Os múltiplos de \(2\) são os também chamados números pares \(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...\).

Note-se que se um número é múltiplo de outro e este último é múltiplo de um terceiro, então o primeiro também é múltiplo do terceiro. Isto equivale a dizer que se um número é divisível por outro e este último é divisível por um terceiro, então o primeiro também é divisível pelo terceiro. Esta propriedade pode também ser enunciada usando o termo "divisor" em vez de "divisível" ou "múltiplo". Tente fazê-lo.

Por exemplo, um múltiplo de um múltiplo de \(10\) também é múltiplo de \(10\). Analogamente para os múltiplos de um múltiplo de \(3\) (ou de \( 2\)). Em particular, qualquer múltiplo de um par é par: \(14\) é par (porque \(14 =7 \times 2\)), portanto \(5 \times 14\) também é par (porque é \(= 5 \times (7 \times 2) = (5 \times 7) \times 2\) ).

Repare-se que a propriedade anterior garante que se um número não é divisível por outro, então não poderá ser divisível por nenhum múltiplo deste. Por exemplo, se um número não for divisível por \(3\), então não poderá ser divisível por nenhum múltiplo de \(3\), porque, de acordo com a que acabámos de ver, se um número fosse divisível por um qualquer múltiplo de \(3\), também teria de ser divisível por \(3\).

Note-se que um número natural é divisor de outro quando e só quando o resto da divisão inteira do segundo número pelo primeiro for igual a zero. Repare-se que se isto acontecer, a divisão inteira do segundo número pelo quociente que se obtém na divisão anterior tem necessariamente resto igual a zero e portanto esse quociente também é divisor do número. Por exemplo, \(5\) é divisor de \(40\) porque \(40:5=8\) (resto \(0\)), o que significa que \(40=5 \times 8\) e, portanto, \(8\) é também divisor de \(40\), tendo-se \(40:8=5\) (resto \(0\)).

Ao contrário do conjunto dos múltiplos, o conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, pois nenhum divisor pode exceder o número.

É importante notar que o \(1\) é divisor de todos os números, pois qualquer número dividido por \(1\) dá o próprio número (e resto zero). Pelo mesmo motivo, qualquer número é divisor de si próprio.

Vejamos, a partir de exemplos, como determinar o conjunto dos divisores de um número natural.