Crivo de Eratóstenes 
Números Primos
Consideremos o seguinte problema:
A expressão "a menos da ordem dos factores" significa que a ordem dos factores não interessa. Por exemplo, \(2\times 3\) e \(3 \times 2\) contam como uma única maneira de escrever \(6\) como produto de dois factores.
Para o número \(12\) temos três formas distintas: \(12=1 \times 12\) ou \(12=2 \times 6\) ou \(12=3 \times 4\). Portanto, \(12\) não é um dos números procurados no problema. Mas, para o número \(13\) temos apenas uma forma: \(13=1 \times 13\).
Os números que, à semelhança do \(13\), satisfazem as duas seguintes condições:
- podem-se escrever como produto de dois factores apenas de uma maneira (a menos da ordem dos factores);
- os factores usados nessa (única) decomposição são diferentes;
dizem-se números primos.
Por exemplo, \(1\) não é primo porque, embora satisfaça
a primeira condição (pois a única forma de escrever \(1\)
como produto de dois factores é \(1=1 \times 1\)) não satisfaz
a segunda uma vez que os factores da (única) decomposição
são iguais. E, por exemplo, \(4\) também não é primo
porque não satisfaz a primeira condição (pois \(4\) pode-se
escrever como produto de dois factores de mais do que uma maneira: \(4=1 \times
4\) e \(4=2 \times 2\)).
Já \(2\), \(3\) e \(5\) são primos.
Aos números que, tal como o \(12\), se podem escrever como produto de dois factores de mais do que uma maneira (a menos da ordem dos factores) chamamos números compostos.
Mas, por que motivo poderá o \(12\) ser escrito como produto de dois factores de várias formas e o \(13\) apenas de uma? Isto acontece porque o número \(13\) tem apenas dois divisores (o \(1\) e o \(13\)) ao passo que o número \(12\) tem mais do que dois divisores \((1,2,3,4,6,12)\).
Um número primo é, pois, um número que tem exactamente dois divisores (distintos).
Note-se que, como o \(1\) é divisor de qualquer número, um desses divisores será necessariamente o número \(1\). Além disso, qualquer número é divisível por si próprio, pelo que o outro divisor de um número primo terá de ser o próprio número.
Assim, podemos afirmar que um número primo admite apenas como divisores o \(1\) e o próprio número.
Um número natural diz-se composto quando tem mais do que dois divisores (distintos), ou equivalentemente, quando pode ser escrito como o produto de dois números menores do que ele próprio.
Podemos, assim, concluir que qualquer número natural diferente de 1 ou é primo ou é composto.
Os primeiros números primos são \(2, 3, 5, 7, 11,...\).
| Número | Divisores | É primo? É composto? |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | Não é primo nem composto |
| \(2\) | \(1,2\) | É primo |
| \(3\) | \(1,3\) | É primo |
| \(4\) | \(1,2,4\) | É composto |
| \(5\) | \(1,5\) | É primo |
| \(6\) | \(1,2,3,6\) | É composto |
| \(7\) | \(1,7\) | É primo |
| \(8\) | \(1,2,4,8\) | É composto |
| \(9\) | \(1,3,9\) | É composto |
| \(10\) | \(1,2,5,10\) | É composto |
| \(11\) | \(1,11\) | É primo |
Relembremos, agora, a questão I e a questão II anteriores.
Notemos que, dado um número natural superior a \(1\), o seu menor divisor (distinto de \(1\)) é sempre um número primo. Para perceber porquê, basta observar que qualquer número composto é divísível por um número diferente de \(1\) e inferior a si próprio. Portanto, se um número composto é divisor de outro número, digamos \(n \), não será certamente o seu menor divisor (distinto de \(1\)), pois qualquer divisor desse número composto também será divisor de \(n\).
