Dinâmica de um truque 
Considerando outras bases...
A transformação \(f_{D}\) pode ser considerada como atuando nos naturais quando representados numa outra base que não \(10\) (designemo-la por \(f_{D,base}\)), esperando-se dinâmicas distintas, uma vez que o comportamento das órbitas de \(f_{D,base}\) depende dos dígitos permitidos na representação dos naturais. Clique aqui para comparar o comportamento das órbitas de \(f_{7,2}\) e \(f_{5,3}\).
Por exemplo, na base \(2\) e para \(D = 4\), a imagem de uma tal transformação \(f_{4,2}\) contém cinco números e há quatro ciclos fixos, nomeadamente \(\{0000\}\), \(\{0010\}\), \(\{0101\}\), \(\{0111\}\); e são apenas estes os atractores de \(f_{4,2}\).
Ciclos e pré-ciclos em \(f_{4,2}\).
Mais geralmente, nesta base e para todos os valores de \(D\) par, há \(2^{\frac{D}{2}}\) pontos fixos (e conjetura-se que são apenas esses os atractores de \(f_{D,2}\)).
Em base \(3\) e para \(D = 6\), encontramos três pontos fixos \((\{000000\}\), \(\{010120\}\), \(\{102212\})\) e uma órbita de período \(2\) \((\{010212, 201021\})\), e só estes ciclos.
Ciclo de período \(2\) de \(f_{6,3}\) com as suas pré-imagens.
Pode clicar na imagem para a ver em tamanho maior.
Prova-se que, para algum \(D\), \(f_{D,B}\) tem pontos fixos não nulos se e só se \(B\) for não congruente com \(1\) módulo \(3\). Um ponto fixo de \(f_{2,B}\) é \(\left(\frac{B-2}{3},\frac{2B-1}{3}\right)_{B}\) se \(B\) é congruente com \(2\) módulo \(3\); um ponto fixo de \(f_{4,B}\) é \(\left(\frac{B}{3},\frac{B}{3}-1,\frac{2B}{3}-1,\frac{2B}{3}\right)_{B}\), se \(B\) for múltiplo de 3.
