Dinâmica de um truque 
E se considerarmos apenas um ou dois algarismos?
Poderíamos ter começado por considerar uma transformação \(f_{1}\) análoga a \(f\) mas a atuar no conjunto \(N_{1}\) de números naturais com dízimas de um dígito: nesse caso, \(f_{1}\) envia cada número no ponto fixo \(0\). No conjunto \(N_{2}\) de números naturais com dois dígitos, além do ponto fixo \(00\) a aplicação \(f_{2}\) tem um ciclo de período \(5\) \[09\rightarrow 81\rightarrow 6\rightarrow 27\rightarrow 45\] a que chegam todos os números \(ab\) com \(a\neq b\) em um ou dois iterados de \(f_{2}\). Observe-se que este ciclo está relacionado com o ciclo de igual período em \(N_{3}\): o de três dígitos obtém-se deste colocando um \(9\) no meio de cada número. A figura seguinte ilustra a dinâmica de \(f_{2}\).
Ciclos e pré-ciclos em \(N_{2}\).
