Dinâmica de um truque 
Conjecturas I
Conjectura 1
Em base \(2\), para qualquer \(D\), todos os ciclos em \(N_{D}\) têm período \(1\).
Conjectura 2
Analisemos as figuras e tabelas seguintes, das dinâmicas em base \(2\).
- \(D=4\)
Ciclos e pré-ciclos em \(f_{4,2}\).
| \(D\) | \(4\) |
|---|---|
| N.º de ciclos | \(4\) |
| N.º de pré-imagens de cada ciclo | \(2,4,4,6\) \(\mbox{Total}=2\,(1+2+2+3)=16=2^{4}\) |
| Soma (em base 10) dos números das pré-imagens de cada ciclo | \(15,30,30,45\) \(\mbox{Total}=15\,(1+2+2+3)\) \(=15\times 8\) \(=\left(2^{4}-1\right)2^{3}\) |
- \(D=6\)
Ciclos e pré-ciclos em \(f_{6,2}\).
| \(D\) | \(6\) |
|---|---|
| N.º de ciclos | \(8\) |
| N.º de pré-imagens de cada ciclo | \(2,\) \(4,\) \(4,\) \(4,\) \(10,\) \(10,\) \(14,\) \(16\) \(\mbox{Total}=2\,(1+2+2+2+5+5+7+8)\) \(=64\) \(=2^{6}\) |
| Soma (em base 10) dos números das pré-imagens de cada ciclo | \(63,\) \(126,\) \(126,\) \(126,\) \(315,\) \(315,\) \(441,\) \(504\) \(\mbox{Total}=63\,(1+2+2+2+5+5+7+8)\) \(=63\times 32\) \(=\left(2^{6}-1\right)2^{5}\) |
- \(D=8\)
Ciclos e pré-ciclos em \(f_{8,2}\).
| \(D\) | \(8\) |
|---|---|
| N.º de ciclos | \(16\) |
| N.º de pré-imagens de cada ciclo | \(2,\) \(4,\) \(4,\) \(4,\) \(4,\) \(8,\) \(10,\) \(10,\) \(12,\) \(12,\) \(16,\) \(24,\) \(24,\) \(34,\) \(34,\) \(54\) \(\mbox{Total}=2\,(1+2+2+2+2+4+5+5+6+6+8+12+12+17+17+27)\) \(=256\) \(=2^{8}\) |
| Soma (em base 10) dos números das pré-imagens de cada ciclo | \(255,\) \(510,\) \(510,\) \(510,\) \(510,\) \(1020,\) \(1275,\) \(1275,\)
\(1530,\) \(1530,\) \(2040,\) \(3060,\) \(3060,\) \(4335,\) \(4335,\)
\(6885\) \(\mbox{Total}=255\,(1+2+2+2+2+4+5+5+6+6+8+12+12+17+17+27)\) \(=255\times 128\) \(=\left(2^{8}-1\right)2^{7}\) |
Mais geralmente, em base 2:
- há um e um só ciclo (fixo) com duas pré-imagens, \(F_{1} = \{0101...01\};\) note-se que a soma (em base 10) dos números das pré-imagens deste ciclo é \(2^{D} - 1;\)
- nos outros \(2^{\frac{D}{2}} - 1\) ciclos, que designamos por \(F_{2},...,F_{m}\), sendo \(m=2^{\frac{D}{2}}-1\), cada um com \(2p_{i}\) pré-imagens (número par pois, com excepção dos naturais iguais ao seu reverso e que são em número par, um número e o seu reverso estão na pré-imagem do mesmo ciclo) e cujos números somam (em base \(10\)) \(S_{i}\), tem-se \[S_{i} = \left(2^{D} - 1\right)p_{i}\] e \[\sum_{i=1}^{m}p_{i}=2^{D-1}.\]
Em particular, concluímos que a soma de todas as pré-imagens dos \(2^{\frac{D}{2 }}\) ciclos fixos é \[\sum_{i=1}^{m}\left(2^{D}-1\right)p_{i}=\left(2^{D}-1\right)2^{D-1}=\frac{\left(2^{D}-1\right)2^{D}}{2}\] \[= \mbox{soma de todos os naturais de }1 \mbox{ a }2^{D}-1.\]
Ou seja, a prova desta conjectura garante que a primeira conjectura é
também válida.
Nota: Uma propriedade análoga, sobre o número de pré-imagens dos ciclos fixos e respectiva soma, parece valer nas outras bases.
