ATRACTOR

Para \(D\) par, parece haver maior variedade de meios para se formarem os ciclos de \(N_{D}\). Por exemplo, podemos fixar um elemento de um ciclo de \(N_{D-2}\) e colocar um zero em cada topo (como em \(\{0090, 0810, 0630, 0270, 0450\}\) quando \(D=4\)); ou escolher um elemento de um ciclo de \(N_{\frac{D}{2}}\) e repeti-lo duas vezes (veja-se o ciclo \(\{0909, 8181, 6363, 2727, 4545\}\), quando \(D=4\)); ou selecionar ciclos de valores de \(D\) menores e juntá-los depois de uma permutação conveniente (como no ciclo \[\{978021, 857142, 615384, 131868, 736263, 373626, 252747, 494505, 010989\}\] de \(D = 6 = 2+4\), cujo primeiro elemento resulta de uma tal união entre os ciclos \(\{09, 81, 63, 27, 45\}\) de \(N_{2}\) e \(\{2178, 6534\}\) de \(N_{4}\)).

A lista de procedimentos detetados para \(1 \leq D \leq 12\) é extensa e alguns deles geram ciclos com períodos novos relativamente aos já obtidos para valores menores de \(D\). O programa elaborado pelo Atractor para calcular os ciclos de \(f_{D}\) demorou centésimas de segundo para fornecer a lista completa dessas órbitas especiais quando \(2 \leq D \leq 4\); gastou poucos segundos para \(D = 6\) e cerca de dois minutos para \(D = 8\). Quando se fixou \(D = 12\), porém, o tempo previsto subiu para cerca de um ano (embora, usando amostras ao acaso de elementos da imagem de \(f_{12}\), a busca de ciclos tenha sido mais rápida). Fica, por isso, o desafio de se provarem, para \(D =12\) e sem recurso ao computador, algumas das propriedades detetadas nas dinâmicas anteriores.