ATRACTOR

Quando \(D \geq 3\) é ímpar, os ciclos são obtidos dos ciclos de \(D-1\) colocando um \(0\) ou um \(9\) a meio de cada elemento do ciclo. E o número de ciclos de \(N_{D}\) é igual ao de \(N_{D-1}\).

Comecemos por um exemplo. Consideremos \(D=5\) e \(n=21978\). O resultado da subtracção de \(i_{5}(n)\) por \(n\) é \(65\mathbf{9}34\). O natural \(n\) pertence a um ciclo de período \(2\), nomeadamente \(\{21\mathbf{9}78, 65\mathbf{9}34\}\). Observe-se que, se \(n'=2178\), então a subtracção de \(i_{4}(n')\) por \(n'\) é \(6534\), sendo \(\{2178, 6534\}\) um ciclo de período \(2\) de \(N_{4}\). Do mesmo modo, se \(n=089108910\), então o resultado da subtracção de \(i_{9}(n)\) por \(n\) é \(069306930\), e a diferença de \(i_{8}(n')\) para \(n'=08918910\) é \(06936930\). O natural \(n\) está num ciclo de período \(5\), mais precisamente \[\{009900990, 089108910, 069306930, 029702970, 049504950\},\] e \[\{00990990, 08918910, 06936930, 02972970, 04954950\}\] é um ciclo de igual período de \(N_{8}\).

Em geral, se \(D>1\) é ímpar e \[n = a_{D-1} a_{D-2} ... a_{\frac{D+1}{2}} a_{\frac{D-1}{2}} a_{\frac{D-3}{2}}... a_{0}\] pertence a \(N_{D}\), temos \[f_{D}(n) = \left|\left[10^{D-1}-1\right]\left[a_{D-1}-a_{0}\right]+\left[10^{D-2}-10\right]\left[a_{D-2}-a_{1}\right]+...+ \\ \;\;\;\;+\left[10^{\frac{D+1}{2}}-10^{\frac{D-3}{2}}\right]\left[a_{\frac{D+1}{2}}-a_{\frac{D-3}{2}}\right]+\left[10^{\frac{D-1}{2}}-10^{\frac{D-1}{2}}\right]\left[a_{\frac{D-1}{2}} - a_{\frac{D+1}{2}}\right]\right|=\\ =\left|\left[10^{D-1}-1\right]\left[a_{D-1}-a_{0}\right]+\left[10^{D-2}-10\right]\left[a_{D-2}-a_{1}\right]+...+ \\ \;\;\;\;+ \left[10^{\frac{D+1}{2}}-10^{\frac{D-3}{2}}\right]\left[a_{\frac{D+1}{2}}-a_{\frac{D-3}{2}}\right]\right|=\\= f_{D-1}(n'), \mbox{ a menos de um 9 ou de um 0 na posição central,}\] onde \(n'\) é o natural que se obtém de \(n\) retirando o dígito central. Note-se que o dígito central de \(f_{D}(n)\) é \(9\) se houver um resto da diferença \(|a_{\frac{D+1}{2}} - a_{\frac{D-3}{2}}\)|, e nesse caso também esse resto existe no cálculo do valor de \(f_{D-1}(n')\); e é \(0\) em ambas as contas caso contrário. Isto é, a órbita de \(n\) por \(f_{D}(n)\) tem de terminar num ciclo \(\gamma\) que é formado a partir do ciclo \(\alpha\) de \(N_{D-1}\) onde acaba a órbita de \(f_{D-1}(n')\) colocando-se um \(0\) ou um \(9\) no centro de cada elemento de \(\alpha\).

Uma vez que a órbita de qualquer elemento de \(N_{D}\) termina num ciclo, daqui resulta desde logo que cada ciclo \(\alpha\) de \(N_{D-1}\) tem de produzir algum ciclo \(\gamma\) de \(N_{D}\) ao se colocar um \(0\) ou um \(9\) na posição central de algum dos elementos de \(\alpha\). E que dígito deve colocar-se? Repare-se que, nas tabelas para \(D\) ímpar entre \(3\) e \(9\), todos os elementos de um tal ciclo \(\gamma\) contêm o dígito \(0\) na posição central, ou todos contêm o dígito \(9\) nessa posição; para \(D=11\), porém, no ciclo \[\{01143966780, 07622967330, 04246044660, 02398019580, 06193069740,\\ 01397030580, 07106048730, 03321988560, 03266923770, 04466042460,\\ 01958023980, 06974061930, 03058013970, 04873071060\}\] alguns elementos do ciclo têm um \(0\) central e outros um \(9\). Em geral, se fixarmos um elemento \(n'\) do ciclo \(\alpha\) de \(N_{D-1}\), com período \(p\), o dígito que serve para se acrescentar à posição central de \(\alpha\) e assim obter \(n\) de um ciclo de \(N_{D}\) é aquele que é consistente com a igualdade \((f_{D})^{p}(n)=n\). Estas considerações garantem que o número de ciclos de \(N_{D}\) é maior ou igual ao número de ciclos de \(N_{D-1}\).

Mas, de facto, o número de ciclos em \(N_{D}\) é igual ao número de ciclos em \(N_{D-1}\). Isto decorre da seguinte propriedade: se obtemos um ciclo de \(N_{D}\) juntando um \(9\) na posição central de um ciclo de \(N_{D-1}\), então se, em vez do \(9\), juntarmos um \(0\) nessa posição, não obtemos um ciclo; e reciprocamente. Vejamos porquê.

Dado \(D\) ímpar, suponhamos que obtemos um ciclo \(\gamma\) de \(N_{D}\) \[\gamma = a_{D-2} a_{D-3} ... a_{\frac{D-1}{2}} \,c\, a_{\frac{D-3}{2}}...a_{1} a_{0}\] juntando um dígito \(c\), que já sabemos ser \(0\) ou \(9\), na posição central de um ciclo \(\alpha\) de \(N_{D-1}\), \[\alpha = a_{D-2} a_{D-3} ... a_{\frac{D-1}{2}} a_{\frac{D-3}{2}}... a_{1} a_{0}.\]

Então o dígito central de \(f_{D}(\gamma)\) depende da existência de um resto \(1\) vindo da diferença \(\left|a_{\frac{D-1}{2}} - a_{\frac{D-3}{2}}\right|\), naturalmente influenciada por subtracções em dígitos à direita destes: se dela há um resto, então esse dígito central de \(f_{D}(\gamma)\) é \(9\) independentemente do valor de \(c\); se não há resto, é \(0\) qualquer que seja \(c\). O que indica que, se \(c=9\) e, em vez de \(9\), tivéssemos colocado um \(0\) na posição central de \(\alpha\), obteríamos, aplicando \(f_{D}\), o mesmo valor \(f_{D}(\gamma)\). Ou seja, esse outro elemento de \(N_{D}\) está na pré-imagem do ciclo \(\gamma\), não forma um ciclo novo. Um argumento semelhante aplica-se se \(c=0\), provando-se assim que cada ciclo de \(N_{D-1}\) gera um e só um ciclo em \(N_{D}\).