ATRACTOR

Se \(D\) é par, o cardinal da imagem de \(f_{D}\) é \(\frac{19^{\frac{D}{2}}+1}{2}\).

Se \(D\) é ímpar, esse cardinal é \(\frac{19^{\frac{D-1}{2}}+1}{2}\).

Vejamos primeiro dois exemplos. Se \(D=4\) e \(n=abcd\), com \(a\geq d\) (basta considerar estes casos pois \(f_{D}\) calcula a diferença do maior para o menor entre \(n\) e \(i_{D}(n)\)), então \[f_{4}(n)=\left|[10^{3} - 1](a-d) + [10^{2} - 10](b-c)\right|.\]

Logo:

• Ou \(a=d\), logo \(f_{4}(n)= [10^{2} - 10]z_{2}\) com \(z_{2}\) em \(\{0,…,9\}\), e temos \(10\) possibilidades para \(z_{2}\), e portanto as mesmas para \(f_{4}(n)\).
• Ou \(a>d\) (e há \(9\) valores possíveis para \(a-d\)) e tem-se \[f_{4}(n) = [10^{3} - 1](a-d) + [10^{2} - 10]z_{2}\] estando \(z_{2}\) livre no conjunto \(\{-9,...,0,1,...,9\}\), o que fornece \(9\times 19\) possibilidades para \(f_{4}(n)\).

Assim, a imagem de \(f_{4}\) contém \(10 + 9\times 19 = 1 + 9 + 9\times 19 = 181\) elementos. Note-se ainda que \(1 + 9 + 9\times 19 = \frac{19^{2} + 1}{2}\).

Se \(D=6\) e \(n=abcdef\) com \(a\geq f\), então \[f_{6}(n) = \left|[10^{5} - 1](a-f) + [10^{4} - 10](b-e) + [10^{3} – 10^{2} ](c-d)\right|\] e

• ou \(a=f\) e \(b=e\), e tem-se \(f_{6}(n)= [10^{3} – 10^{2}]z_{3}\), com \(z_{3}\) em \(\{0,…,9\}\), o que fornece \(10\) possibilidades para \(f_{6}(n)\);
• ou \(a=f\) e \(b\neq e\), e tem-se \(f_{6}(n)= [10^{4} - 10]z_{2} + [10^{3} – 10^{2}]z_{3}\), onde \(z_{2}\) está em \(\{0,…,9\}\) e \(z_{3}\) é livre em \(\{-9,...,0,1,...,9\}\), o que produz \(9\times 19\) elementos na imagem de \(f_{6}\);
• ou \(a>f\) (há \(9\) valores possíveis para \(a-f\)) e então \[f_{6}(n) = [10^{5} - 1](a-f) + [10^{4} - 10]z_{2} + [10^{3} – 10^{2} ]z_{3}\] onde \(z_{2}\) e \(z_{3}\) estão ambos livres em \(\{-9,...,0,1,...,9\}\), o que produz \(9\times 19^{2}\) elementos na imagem de \(f_{6}\).

Consequentemente, o cardinal da imagem de \(f_{D}\) é \[10 + 9\times 19 + 9\times 19\times 19 = 1 + 9 + 9\times 19+ 9\times 19^{2} = 3430.\] E tem-se \(1 + 9 + 9\times 19 + 9\times 19^{2} = 1 + 9\, (1 + 19 + 19^{2}) = \frac{19^{3} + 1}{2}\).

Generalizemos agora o raciocínio anterior ao conjunto \(N_{D}\). Como \[f_{D}(x)=\left|x_{D-1}x_{D-2} … x_{1}x_{0} - x_{0}x_{1} … x_{D-2}x_{D-1}\right|,\] para \(D\) par obtemos \[f_{D}(x)=\left|(10^{D-1} - 1)(x_{D-1} - x_{0})+ (10^{D-2} - 10)(x_{D-2} - x_{1})+ … +\left (10^{\frac{D}{2}} - 10^{\frac{D}{2}-1}\right)\left(x_{\frac{D}{2}} - x_{\frac{D}{2}-1}\right)\right|\] e, para \(D\) ímpar, \[f_{D}(x)=\left|(10^{D-1} - 1)(x_{D-1} - x_{0})+ (10^{D-2} - 10)(x_{D-2} - x_{1})+ … + \left(10^{\frac{D+1}{2}} - 10^{\frac{D-3}{2}}\right)\left(x_{\frac{D+1}{2}} - x_{\frac{D-3}{2}}\right)\right|.\]

Logo, na imagem de \(f\) só estão os inteiros não-negativos que se podem reescrever na forma \[(10^{D-1} - 1)z_{1} + (10^{D-2} - 10)z_{2} +…+\left (10^{\frac{D}{2}} - 10^{\frac{D}{2}-1}\right)z_{\frac{D}{2}} \mbox{ se }D \mbox{ é par}\] \[(10^{D-1} - 1)z_{1} + (10^{D-2} - 10)z_{2} +…+ \left(10^{\frac{D+1}{2}} - 10^{\frac{D-3}{2}}\right)z_{\frac{D-1}{2}} \mbox{ se }D \mbox{ é ímpar,}\] onde \(0 \leq z_{1} \leq 9\) e \(-9 \leq z_{j} \leq 9\) para \(j>1\).

Apenas sujeitos a estas condições, obteríamos \(10\times 19^{\frac{D}{2}-1}\) números quando \(D\) é par. Na verdade, os \(z_{i}´s\) não são independentes. Vejamos o caso em que \(D\) é par (o outro é análogo). Se existe algum \(z_{j} \neq 0\) e \(k = \mbox{mínimo }\{0 \leq i \leq \frac{D}{2}: z_{i} \neq 0\}\), então \(1 \leq z_{k} \leq 9\) e \(-9 \leq z_{i} \leq 9\) para \( i>k\). Analisando as possibilidades para cada valor de \(k\), concluímos que, dos \(10^{D}\) naturais com \(D\) dígitos, apenas \[10+9\times 19+9\times 19^{2}+...+9\times 10^{\frac{D}{2}-1}=\frac{19^{\frac{D}{2}}+1}{2}\] estão na imagem de \(f_{D}\).

Por argumento semelhante deduzimos que, para \(D\) ímpar, o cardinal dessa imagem é \(\frac{19^{\frac{D-1}{2}} + 1}{2}\).

Observe-se que a frequência de números na imagem de \(f_{D}\) tem limite \(0\) quando \(D\) vai para infinito, uma vez que \[\frac{19^\frac{D}{2} + 1}{ 2\times 10^{D}}< \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{D}{2}}.\]