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Reciclando o erro
No artigo "Reciclando o Erro", publicado pelo Atractor na sua coluna na Gazeta da Matemática, em Julho de 2016, enuncia-se um procedimento em geral incorrecto e procuram-se os casos que conduzem a um resultado certo. Concretizando: considerando por exemplo a fracção \(\require{cancel} \frac{64}{16}\) e cancelando o algarismo comum ao numerador e ao denominador (\(6\)), obtemos \[\frac{\cancel{6}\,4}{1\,\cancel{6}}=\frac{4}{1}\] e, de facto, \(\frac{64}{16}=\frac{4}{1}\). Diremos que uma fracção como \(\frac{64}{16}\) é cancelável. Quais são as fracções canceláveis?
No artigo, inicia-se o estudo pelas fracções com dois algarismos no numerador e no denominador. O problema é abordado para diferentes bases \(\beta\), distinguindo os casos \(\beta\) primo e \(\beta\) composto. A título de exemplo, o grafo seguinte mostra todas as fracções conceláveis para a base 24.
Nota: Nos rectângulos maiores do grafo seguinte estão todas (doze no total) as fracções canceláveis.
Os números \(2, ..., 12\) representam apenas os divisores próprios de \(24\) e o motivo pelo qual é relevante considerar estes divisores é o facto de, como \(\beta=24\) é um natural composto e \(\beta-1=23\) é primo, existe um método simples para a construção de todas as fracções canceláveis, partindo dos referidos divisores. Em particular, para o caso indicado - \(\beta\) composto e \(\beta-1\) primo - o número de fracções canceláveis na base \(\beta\) é igual ao dobro do número de divisores próprios de \(\beta\).
A figura abaixo ilustra, numa escala logarítmica, no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio e a partir do raio horizontal da esquerda, as fracções canceláveis não triviais (amarelo), as canceláveis triviais (laranja), as susceptíveis de cancelamento mas não canceláveis e as não susceptíveis de cancelamento (azul). Os dados estão indicados para bases de 2 a 50, por ordem crescente do raio.
Terminado o estudo das fracções com dois algarismos, é abordado o problema análogo mas agora para fracções com três algarismos no numerador e denominador. Uma aplicação interactiva no site do Atractor permite calcular, nas bases \(2, 3, ..., 12\), as fracções canceláveis não triviais com 3 algarismos dos tipos \(\frac{\cancel{c}yz}{r\cancel{c}t}\), \(\frac{\cancel{c}yz}{rs\cancel{c}}\), \(\frac{x\cancel{c}z}{rs\cancel{c}}\) e \(\frac{x\cancel{c}z}{r\cancel{c}t}\).
O leitor do artigo é convidado a explorar todo o material
interactivo que o Atractor produziu a este propósito e a considerar
o desafio de obter uma descrição completa das fracções
canceláveis não triviais com três algarismos.
