Triângulos de Napoleão Reformatar


Generalização I

A construção do novo triângulo pode também ser feita colando um triângulo equilátero a cada lado do triângulo \(\bigtriangleup ABC\) mas pelo interior deste triângulo, como ilustra a figura seguinte.

O resultado é ainda um triângulo equilátero cujos vértices são as imagens de \(O_1\), \(O_2\) e \(O_3\) por reflexões nas linhas \(BC\), \(AC\) e \(AB\), respectivamente; além disso, os dois triângulos equiláteros novos e o triângulo \(\bigtriangleup ABC\) têm o mesmo baricentro (cf. [1]). Cálculos análogos aos anteriores indicam que o comprimento \(S\) do lado deste novo triângulo verifica a igualdade \[3\,S^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\, \cos\,(\angle A - 60^\circ) \\ = \frac{1}{2}\,(a^2 + b^2 + c^2) - 2\,\sqrt{3}\,\,\big(\text{área}\,(\bigtriangleup ABC)\big).\] Em particular, este triângulo novo construído para dentro degenera num ponto se e só se \(\bigtriangleup ABC\) é equilátero.1 Como a área de um triângulo equilátero de lado \(\ell\) é \(\frac{\sqrt{3}}{4}\, \ell^2\), é imediato deduzir das igualdades anteriores que a diferença entre as áreas dos dois triângulos equiláteros novos, o exterior e o interior, é igual a \[\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}\, S^2 = \, \text{área}\,(\bigtriangleup ABC).\]

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1 De facto, se \(b=c\) e \(\angle A = 60^\circ\), então \(S=b^2 + c^2 - 2\,b\,c\,=(b-c)^2=0\). E, reciprocamente, se \(S=0\), então \(b^2 + c^2 = 2\,b\,c\, \cos\,(\angle A - 60^\circ) \leqslant 2\,b\,c\), logo \((b-c)^2 \leqslant 0\), o que só é possível se \(b=c\); neste caso, \(\cos\,(\angle A - 60^\circ) = 1\), e portanto devemos ter \(\angle A = 60^\circ\) uma vez que \(0 \leqslant \angle A - 60^\circ \leqslant 120^\circ\).