ATRACTOR

Comecemos por apresentar uma demonstração deste resultado, usando a notação da figura seguinte.

Designemos por \(\angle A\),\(\angle B\) e \(\angle C\) os ângulos do triângulo \(\bigtriangleup ABC\) nos vértices \(A\), \(B\) e \(C\), respectivamente, e por \(a =|BC|\), \(b=|CA|\) e \(c=|AB|\) os comprimentos dos lados opostos aos vértices \(A\), \(B\) e \(C\), por esta ordem. Juntemos um triângulo equilátero a cada lado, e denotemos por \(O_1\), \(O_2\) e \(O_3\) os respectivos baricentros (pontos de intersecção das medianas). Trata-se de provar que o triângulo \(\bigtriangleup O_1O_2O_3\) é equilátero. Sejam \[s = |O_2O_3|, \quad \quad t = |AO_3| \quad \quad \text{e} \quad \quad u = |AO_2|.\] Pela lei dos cossenos, \[s^2 = u^2 + t^2 - 2\,u\,t\, \cos\,(\angle A + 60^\circ).\] Além disso, o baricentro de um triângulo trisecta cada mediana e, num triângulo equilátero de lado \(\ell\), estas medem \(\frac{\sqrt{3}}{2}\, \ell\). Logo \[t = \frac{2}{3} \,\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\, c\Big) \quad \quad \text{e} \quad \quad u = \frac{2}{3}\, \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\, b\Big).\] Consequentemente, \[\text{(1)}\,\, 3\,s^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\, \cos\,(\angle A + 60^\circ) \\ = b^2 + c^2 - \,b\,c\, \cos\,(\angle A) + \sqrt{3}\,b\,c\, \,\text{sen}\,(\angle A).\] Tendo em conta que, no triângulo \(\bigtriangleup ABC\), se tem, pela lei dos cossenos, \[a^2 = b^2 + c^2 - 2\, b\, c\, \cos\,(\angle A)\] e, pela lei dos senos, \[\text{área}\,(\bigtriangleup ABC) = \frac{b\,c\,\,\text{sen}\,(\angle A)}{2}\] a igualdade (1) pode reescrever-se \[3\,s^2 = \frac{1}{2}\,(a^2 + b^2 + c^2) + 2\,\sqrt{3}\,\,\big(\text{área}\,(\bigtriangleup ABC)\big).\] Note-se agora que esta expressão é simétrica relativamente aos valores de \(A\), \(B\) e \(C\). O que implica que o triângulo \(\bigtriangleup O_1O_2O_3\) é equilátero, e que isso não depende do triângulo inicial \(\bigtriangleup ABC\).

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