ATRACTOR

Analisemos o sistema de equações com três incógnitas (\(a\), \(b\) e \(\lambda\)) dado por \[\nabla f=\lambda\nabla g\mbox{ e }g\equiv0\] ou seja,

\[\begin{array}{ccc} \left(\begin{array}{c} (\mathcal{S}-b)(2\mathcal{S}-2a-b)\\ (\mathcal{S}-a)(2\mathcal{S}-2b-a) \end{array}\right) & = & \lambda\left(\begin{array}{c} \frac{\delta F_{2}}{\delta a}\\ \frac{\delta F_{2}}{\delta b} \end{array}\right)\end{array}\]\[g(a,b)=0.\] Consideremos as duas primeiras equações \[\begin{array}{ccc} \begin{array}{r} \lambda(-2\mathcal{S}+b)\\ \lambda(2b+a) \end{array} & \begin{array}{c} =\\ = \end{array} & \begin{array}{c} (\mathcal{S}-b)(2\mathcal{S}-2a-b)\\ (\mathcal{S}-a)(2\mathcal{S}-2b-a) \end{array}\end{array}.\] Como, pela desigualdade triangular, temos \(\mathcal{S}=\frac{a+b+c}{2}>\frac{a+a}{2}=a\) e, analogamente, \(\mathcal{S}>b\) e os coeficientes de \(\lambda\) não se anulam, podemos desde já concluir que \(2\mathcal{S}-2a-b=0\) se e só se \(2\mathcal{S}-2b-a=0.\) Mas o triângulo equilátero (correspondente a \(2\mathcal{S}-2a-b=0=2\mathcal{S}-2b-a\)) não pertence a \(\mathcal{T}_{2}\) pois neste conjunto temos sempre \(b>a\). Logo nenhuma das alternativas \(2\mathcal{S}-2a-b=0\) ou \(2\mathcal{S}-2b-a=0,\) que descrevem, em separado, os triângulos isósceles de \(\mathcal{T}_{2},\) serve para maximizar a área.

O sistema de três equações nas incógnitas \(a,b\) e \(\lambda\) \[\begin{array}{ccc} \begin{array}{r} \lambda(-2S+b)\\ \lambda(2b+a)\\ b^{2}-2aS+ab \end{array} & \begin{array}{c} =\\ =\\ = \end{array} & \begin{array}{l} (S-b)(2S-2a-b)\\ (S-a)(2S-2b-a)\\ 0 \end{array}\end{array}\] tem uma única solução, sendo \(a\) e \(b\) tais que \[\frac{(S-b)(2S-2a-b)}{-2S+b}=\frac{(S-a)(2S-2b-a)}{2b+a}\]e \(\lambda\) igual a este valor comum. O triângulo que maximiza a área em \(\mathcal{T}_{2}\) tem lados \(a\), \(b\) e \(2S-a-b\).

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[1] L. Euler, Proprietates triangulorum, quorum anguli certam inter se rationem tenent, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae Vol. XI 1765 (1767) 67-102
[2] E. Lima, Curso de Análise, IMPA, 1992
[3] I. Niven, Maxima and Minima without Calculus, MAA, Dolciani Mathematical Expositions 6, 1981