ATRACTOR

Com esta caracterização dos triângulos em que um ângulo é o dobro de outro, podemos, por exemplo, provar que existe exactamente um destes triângulos tal que os comprimentos dos lados são inteiros consecutivos¹: é o que verifica \(a = 4,b = 6\) e \(c = 5\). Ou determinar expressões gerais para o seno e o cosseno de um ângulo duplo.

Por processo análogo, usando o que já sabemos para \(n=2\), podemos explicitar uma relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo em que um dos ângulos é triplo de outro.

Por construção, no triângulo \(\triangle ABQ\), tem-se \(\angle B = 2 \angle A\), e portanto, \(|AQ|^{2}- |BQ|^{2} = |AB||BQ|\), ou seja, \[\left(b-\frac{a^{2}}{b}\right)^{2}-\left(\frac{ac}{b}\right)^{2}=\left(\frac{ac}{b}\right)c\] o que é equivalente a \((b^{2} - a^{2})^{2} - ac^{2}(a + b) = 0\) e, cancelando \(a + b\), o mesmo que\[(b^{2} - a^{2} + c^{2})(b - a) - bc^{2} = 0.\] Quanto à implicação recíproca, voltemos à referência [1]. Euler afirma que, se num triângulo \(\triangle ABC\), de lados correspondentes \(a\), \(b\), \(c\), vale a igualdade \((b^{2} - a^{2} + c^{2})(b - a) - bc^{2} = 0\), então \(\angle B = 3\angle A\). A figura com que Euler pretende ilustrar esta afirmação, envolvendo uma circunferência centrada no vértice \(C\) e os pontos de intersecção dela com o lado \(AC\), só é possível se \(b>a\). É claro que esta é uma condição necessária para que o ângulo no vértice \(B\) seja triplo do do vértice \(A\), mas esta ordem entre \(a\) e \(b\) não é consequência da hipótese \((b^{2}-a^{2}+c^{2})(b-a)-bc^{2} = 0\). Esta igualdade apenas garante que, sendo \(b < a\), então devemos ter \(b^{2} -a^{2} +c^{2} < 0\), logo \(c < a\).
Ora, se, por exemplo, \(a = 3\), \(c = 2\) e \(b\) é a solução da equação \[(b^{2} - 5)(b - 3) = 4b\] em \(\left]1,\sqrt{5}\right[\) então \(a\), \(b\) e \(c\) são os comprimentos dos lados de um triângulo \(\triangle ABC\), opostos aos vértices \(A\), \(B\), \(C\), respectivamente, que verifica a condição \((b^{2} - a^{2} + c^{2})(b-a) - bc^{2} = 0\) mas em que \(\angle B\neq3\angle A\).²

Se, contudo, admitirmos que no triângulo \(\triangle ABC\), de lados \(a\), \(b\), \(c\), se tem \[(b^{2} - a^{2} + c^{2})(b-a) - bc^{2} = 0 \mbox{ e } b>a\] então podemos fixar, no lado \(AC\) , um ponto \(Q\) tal que o ângulo \(\angle QBC\) é igual a \(\angle A\). Desse modo, o triângulo \(\triangle BQC\) é semelhante a \(\triangle ABC\), com lados \(|BQ|=\frac{ac}{b},|CQ|=\frac{a^{2}}{b}\) e, portanto, \(|AQ|=b-\frac{a^{2}}{b}\). Além disso, como por hipótese \[\left(b-\frac{a^{2}}{b}\right)^{2}-\left(\frac{ac}{b}\right)^{2}=\left(\frac{ac}{b}\right)c\] ou seja, \(|AQ|^{2} - |BQ|^{2} = |AB||CQ|\), concluímos, pelo caso \(n = 2\), que, no triângulo original \(\triangle ABQ\), o ângulo \(\angle ABQ\) é igual a \(2 \angle QAB\). Daqui resulta que, no triângulo \(\triangle ABC\), se tem \(\angle B = 3\angle A\).

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