Triângulos com ângulos múltiplos 
Triângulos com ângulos múltiplos (3)
O argumento geométrico anterior pode repetir-se para os outros valores de \(n\), embora a relação entre os lados se torne cada vez mais intrincada. Deste processo indutivo resulta que, se designarmos por \(F_{n}(a,b,c)=0\) a relação entre os lados, com comprimentos \(a\), \(b\) e \(c\), de um triângulo \(\triangle ABC\) em que \(\angle B = n \angle A\), então: \[\begin{array}{ccl} F_{1}(a,b,c) & := & b-a\\ F_{2}(a,b,c) & := & b^{2}-a^{2}-ac\\ F_{3}(a,b,c) & := & \left(b^{2}-a^{2}+c^{2}\right)\left(b-a\right)-bc^{2}\\ & = & \left(b^{2}-a^{2}+c^{2}\right)F_{1}(a,b,c)-bc^{2}\\ F_{4}(a,b,c) & := & \left(b^{2}-a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}-a^{2}-ac\right)-b^{2}c^{2}\\ & = & \left(b^{2}-a^{2}+c^{2}\right)F_{2}(a,b,c)-b^{2}c^{2}\\ F_{5}(a,b,c) & := & \left(b^{2}-a^{2}+c^{2}\right)F_{3}(a,b,c)-b^{2}c^{2}F_{1}(a,b,c) \end{array}\] e, mais geralmente, para todo o natural \(n\geq4,\) \[F_{n+1}(a,b,c):=\left(b^{2}-a^{2}+c^{2}\right)F_{n-1}(a,b,c)-b^{2}c^{2}F_{n-3}(a,b,c).\] Reciprocamente, se \(b>a\) e \(F_{n}(a,b,c)=0\), então \( \angle B = n \angle A\).
Fixado \(\mathcal{P}>0\), na família de todos os triângulos com perímetro \(\mathcal{P}\), há um que se destaca: o equilátero com esse perímetro, por ser aquele que engloba maior área. De facto, pela fórmula de Héron [3], a área de um triângulo com lados de comprimentos \(a\), \(b\) e \(c\) tais que \(a + b + c = \mathcal{P}\), é dada por \[\mathcal{A}\left(a,b,c\right)=\sqrt{\mathcal{S}(\mathcal{S}-a)(\mathcal{S}-b)(\mathcal{S}-c)}\] onde \(\mathcal{S}=\frac{\mathcal{P}}{2}\). E, portanto, pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica [3] aplicada aos três números positivos \(\mathcal{S}-a,\mathcal{S}-b\) e \(\mathcal{S}-c\) cuja soma é \(\mathcal{S}\), deduzimos que \[(\mathcal{S}-a)(\mathcal{S}-b)(\mathcal{S}-c)\leq\left[\frac{(\mathcal{S}-a)+(\mathcal{S}-b)+(\mathcal{S}-c)}{3}\right]^{3}\] valendo a igualdade se e só se os três números são iguais. Ou seja, \[\mathcal{A}\left(a,b,c\right)\leq\frac{\mathcal{S}^{2}}{3\sqrt{3}},\] atingindo-se o valor máximo se e só se \(a=b=c=\frac{\mathcal{P}}{3}.\)
Para \(n \geq 1\), designemos por \(\mathcal{T}_{n}\) o conjunto de triângulos \(\triangle ABC\) tais que \(\angle B =n \angle A\). Quando \(n \geq 2\), o triângulo equilátero não pertence a \(\mathcal{T}_{n}\), e até só há dois triângulos isósceles neste conjunto:
- o triângulo \(T_{1,n}\), de ângulos \(\frac{\pi}{n+2},\frac{n\pi}{n+2},\frac{\pi}{n+2},\)
- o triângulo \(T_{2,n}\), de ângulos \(\frac{\pi}{2n+1},\frac{n\pi}{2n+1},\frac{n\pi}{2n+1}.\)
Qual é a solução, se existe, do problema isoperimétrico em \(\mathcal{T}_{n}\)? Pela Lei dos Senos, em \(\mathcal{T}_{n}\) a área de um triângulo com perímetro \(\mathcal{P}\) é dada por \[\mathcal{A}\left(\angle A\right)=\frac{\mathcal{P}^{2}}{2}\frac{\sen\left(\angle A\right)\sen\left(n\angle A\right)\sen\left(\left(n+1\right)\angle A\right)}{[\sen\left(\angle A\right)\sen\left(n\angle A\right)\sen\left(\left(n+1\right)\angle A\right)]^{2}}\] onde \(\angle A\in\left]0,\frac{\pi}{n+1}\right[.\)
