ATRACTOR

Com os módulos interativos produzidos pelo Atractor, disponíveis aqui, podemos considerar um polinómio, aplicar o método de Lill para verificar se tem zeros reais, e ainda mudar os coeficientes do polinómio para analisar como variam os zeros reais e os polígonos de Lill correspondentes.

é o que a figura seguinte indica para a família parametrizada de polinómios dada por \(f_\lambda(x) = x^2 - 5x + \lambda\), com \(\lambda \in \{0, 4, 6, 25/4\}\).

Esta componente interativa sobre o método de Lill pode ainda ser usada para se responder a algumas questões sugeridas pelo método, que o leitor é convidado a explorar. Por exemplo:

1. Dado um polinómio \(f\) de grau maior ou igual a 2 e um caminho \(\beta_f\) que determina um zero real \(x_0\) de \(f\) através do método de Lill, então \(\beta_f\) é a curva poligonal \(\alpha_g\) do polinómio \(g = f/(x - x_0)\) se devidamente reposicionada (isto é, com a figura rodada de modo que o segmento inicial de \(\beta_f\) fique horizontal) e, de seguida, reescalonada por uma homotetia.

Esta propriedade está ilustrada na Figura seguinte para o polinómio \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6.\)

A primeira imagem da figura anterior representa, em cores diferentes (magenta, laranja e castanho), três caminhos \(\beta\) que ligam \(O\) a \(T\) e têm declives iniciais relativos ao primeiro traço preto (horizontal) iguais a \(k=2\), \(k=-1\) e \(k=-3\), respectivamente. E, portanto, pelo que afirmámos anteriormente, o polinómio tem três zeros reais, \(-2\), \(1\) e \(3\). Na imagem do meio, obtida escolhendo \(k=2\), procede-se a uma construção de curvas \(\beta\) análoga à anterior, mas agora com declives iniciais relativamente ao primeiro segmento magenta em vez do primeiro segmento horizontal preto. Desse modo, encontramos duas escolhas de declives que geram polígonos de Lill, \(k=-1\) e \(k=-3\), precisamente os dois valores de \(k\) que não foram usados para passar da primeira imagem para a segunda. De algum modo, é como se a curva magenta representasse o polinómio do segundo grau que é quociente do inicial por \(x+2\), e pudéssemos repetir a construção com essa nova curva para obter os outros zeros reais do polinómio inicial; e, portanto, é como se esta construção geométrica permitisse visualizar a divisão do polinómio inicial por \(x+2\). Para facilitar a compreensão desta iteração do método, representamos na terceira imagem o resultado de uma rotação que colocou na horizontal o primeiro segmento magenta.

2. As curvas \(\alpha\) dos polinómios indicados na figura seguinte são todas fechadas, isto é, \(T = O\). O que têm estes polinómios em comum?

A resposta (são todos divisíveis por \(x^2 + 1\)) é de algum modo surpreendente, mas de facto este é um caso particular de um resultado geral: a curva poligonal \(\alpha\) de um polinómio \(f\) é fechada se e só se \(x^2 + 1\) divide \(f\). Pode ler-se uma prova desta propriedade em [1].

3. A configuração das curvas \(\alpha\) e \(\beta\) admite algumas generalizações. Por exemplo, podemos variar o ângulo de \(90^\circ\) entre os segmentos de reta \(\alpha_j\) que formam a curva \(\alpha\); ou alterar o ângulo de \(90^\circ\) com que os segmentos da curva \(\beta\) se refletem nas direções vertical ou horizontal. Em [1], o leitor encontra informação adicional sobre estas abordagens mais gerais.