ATRACTOR

Uma vez traçada a curva \(\alpha\), construa-se uma outra curva, digamos \(\beta\), dependente da escolha inicial de um ângulo \(\theta\):

1. O primeiro segmento de reta \(\beta_1\) de \(\beta\) começa em \(O\), tem inclinação relativamente ao eixo dos \(x\)'s dada por \(\theta\), e termina num ponto \(Q_1\) da linha que passa em \(P_n\) com direção vertical.
2. O segundo segmento de reta \(\beta_2\) de \(\beta\) começa em \(Q_1\) e faz com \(\beta_1\) um ângulo de \(90^\circ\). Esta mudança de ângulo na direção do movimento de \(\beta_1\) exige uma escolha se a continuação\(\beta_2\) é feita do outro lado da linha vertical ou do mesmo lado de \(\beta_1\). Essa escolha é feita de modo a assegurar que o segmento \(\beta_2\) intersecta a linha horizontal determinada pelo coeficiente \(a_{n-1}\) do polinómio \(f\).
3. Prosseguimos com o processo descrito anteriormente, até se intersectar a reta que contém o último segmento da curva \(\alpha\).

Em geral, esse último ponto da curva \(\beta\) difere do último ponto \(T\) da curva \(\alpha\). Coincide com ele se e só se o número \(x_0 = - \text{tangente}\, (\theta)\) for um zero real do polinómio. Ou seja, a equação (1) tem uma solução real se e só se for possível unir \(O\) a \(T\) por uma curva \(\beta\) como definida anteriormente.¹

Se uma tal curva \(\beta\) existir, as curvas \(\alpha\) e \(\beta\) formam um polígono \(\mathcal{L}\), possivelmente degenerado num segmento, a que chamaremos polígono de Lill do polinómio \(f\). É o que acontece nos exemplos da figura seguinte, que se refere aos polinómios \(2x + 1\), \(x^2 - 2x + 1\), \(x^2 - 2\), \(x^2 - 5x + 6\) e em que as curvas \(\alpha\) e \(\beta\) estão traçadas a preto e magenta, respetivamente. Note-se que são várias as possíveis curvas \(\beta\), para diferentes ângulos iniciais \(\theta\), caso a equação polinomial tenha mais do que uma solução real.

As figuras seguintes contêm informação análoga sobre os polinómios \(x^3 - 9\),\(x^3 - 2x^2 - 5x - 2\), \(x^3 - 7x - 6\) e \(x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 10x + 12\).

Aqui encontra uma aplicação interativa com um cursor que permite, para cada polinómio, variar o ângulo \(\theta\), ver como a curva \(\beta\) se modifica e ainda procurar as posições em que termina em \(T\), isto é, procurar os zeros reais do polinómio escolhido.

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