ATRACTOR

A primeira etapa do método de Lill (cf. [2]) associa ao polinómio \[f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\] um caminho no plano feito de segmentos de reta horizontais e verticais, cujos comprimentos são determinados pelos coeficientes de \(f\). Mais precisamente, começamos por traçar um segmento de reta \(\alpha_n\) horizontal, de comprimento \(|a_n|\), com início no ponto \(O = (0,0)\) do plano cartesiano, dirigido para a direita se \(a_n > 0\) e para a esquerda se \(a_n < 0\). Designemos por \(P_n\) o ponto final de \(\alpha_n\). Se \(a_{n-1} \neq 0\), traçamos outro segmento de reta \(\alpha_{n-1}\), com início em \(P_n\) mas desta vez vertical, medindo \(|a_{n-1}|\), e dirigido para cima se \(a_{n-1} > 0\) e para baixo se \(a_{n-1} < 0\). Denotemos por \(P_{n-1}\) o ponto final de \(\alpha_{n-1}\). Se \(a_{n-1} = 0\), este segmento \(\alpha_{n-1}\) reduz-se ao ponto \(P_n\). Verifique-se na figura seguinte estas duas etapas para os polinómios \(2x + 1\), \(x - 2\) e \(x\).

Se \(n \geq 2\) e \(a_{n-2} \neq 0\), prosseguimos com a construção anterior traçando outro segmento horizontal, digamos \(\alpha_{n-2}\), justaposto ao ponto final do último segmento traçado e medindo \(|a_{n-2}|\). A direção deste novo segmento depende, como anteriormente, do sinal de \(a_{n-2}\): para a esquerda se \(a_{n-2} > 0\), para a direita se \(a_{n-2} < 0\). Em geral, a direção dos segmentos cumprem a seguinte regra: a curva \(\alpha\) que se vai desenhando, feita de segmentos de reta justapostos, orienta-se no sentido contrário aos dos ponteiros do relógio se o coeficiente é positivo, e no sentido horário caso o coeficiente seja negativo. Mais precisamente, se os coeficientes do polinómio de grau \(n\) são todos positivos, então os segmentos correspondentes às parcelas no polinómio de grau \(n-k\), com \(k\) par, são horizontais, tendo sentidos alternados e começando para a direita; e os segmentos associados às parcelas no polinómio de grau \(n-k\), com \(k\) ímpar, são verticais, também em sentidos alternados e começando para cima. Se o polinómio tiver um coeficiente negativo, o sentido do segmento correspondente é o oposto ao descrito; se o coeficiente for nulo, o segmento reduz-se a um ponto. Na figura seguinte, esta construção está feita para os polinómios \(x^2 - 5x + 6\), \(x^2 - 5x\) e \(x^2 + 6\).

A construção desta representação plana do polinómio \(f\) termina quando se esgotam os coeficientes do polinómio, obtendo-se deste modo uma curva \(\alpha\) formada por \(\ell\) segmentos de reta, sendo \(1 \leq \ell \leq n+1\), que começa em \(O\) e termina num ponto que designaremos por \(T\). A figura seguinte mostra a curva \(\alpha\) para os polinómios \(3x^4 + x^3 + 2x^2 - 5x + 7\), \(3x^4 + 2x^2 - 5x + 7\), \(3x^4 -5x + 7\) e \(3x^4 + 2x^2 + 7\).

Página seguinte