ATRACTOR

Para equações quadráticas há uma construção geométrica alternativa para testar a existência de soluções reais. Mais precisamente, a cada polinómio $x^2 + bx + c$ está associada uma circunferência (dita de Carlyle) que tem como diâmetro o segmento $AB$, sendo $A = (0,1)$ e $B = (-b,c)$; os zeros do polinómio são precisamente as abcissas dos pontos de interseção desta circunferência com o eixo dos $x$'s, se existem. Para provar esta afirmação, podemos supor que os pontos $A$ e $B$ são distintos, caso contrário a circunferência é degenerada, não interseta o eixo dos $x$'s e o polinómio é $x^2 +1$, que não tem zeros reais. Sendo $A \neq B$, a circunferência de Carlyle correspondente tem como equação cartesiana $$x(x + b) + (y - 1)(y - c) = 0$$ e basta agora intersetá-la com a reta de equação $y=0$. As abcissas dos pontos de interseção são, portanto, as soluções da equação $x(x + b) + c = 0.$

A figura seguinte ilustra a informação dada pela circunferência de Carlyle sobre os zeros reais dos polinómios $x^2 + 2x + 1$, $x^2 - 5x + 6$, $x^2 + 2x + 2$ e $x^2 + 1$. Note-se que, para o penúltimo polinómio, a circunferência de Carlyle existe mas não intersecta o eixo dos $x$'s, enquanto que para o último polinómio a circunferência reduz-se ao ponto $(0,1).$

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