Polinómios vs. polígonos 
Circunferência de Carlyle
Para equações quadráticas há uma construção geométrica alternativa para testar a existência de soluções reais. Mais precisamente, a cada polinómio \(x^2 + bx + c\) está associada uma circunferência (dita de Carlyle) que tem como diâmetro o segmento \(AB\), sendo \(A = (0,1)\) e \(B = (-b,c)\); os zeros do polinómio são precisamente as abcissas dos pontos de interseção desta circunferência com o eixo dos \(x\)'s, se existem. Para provar esta afirmação, podemos supor que os pontos \(A\) e \(B\) são distintos, caso contrário a circunferência é degenerada, não interseta o eixo dos \(x\)'s e o polinómio é \(x^2 +1\), que não tem zeros reais. Sendo \(A \neq B\), a circunferência de Carlyle correspondente tem como equação cartesiana \[x(x + b) + (y - 1)(y - c) = 0\] e basta agora intersetá-la com a reta de equação \(y=0\). As abcissas dos pontos de interseção são, portanto, as soluções da equação \(x(x + b) + c = 0.\)
A figura seguinte ilustra a informação dada pela circunferência de Carlyle sobre os zeros reais dos polinómios \(x^2 + 2x + 1\), \(x^2 - 5x + 6\), \(x^2 + 2x + 2\) e \(x^2 + 1\). Note-se que, para o penúltimo polinómio, a circunferência de Carlyle existe mas não intersecta o eixo dos \(x\)'s, enquanto que para o último polinómio a circunferência reduz-se ao ponto \((0,1).\)
