Teorema de Morley 
Demonstração
A área de um triângulo é dada por \(A=\frac{\mbox{Base}\times\mbox{Altura}}{2}\). Se o triângulo é equilátero, ou seja, se todos os lados têm o mesmo comprimento \(l\), então a base é \(l\) e a altura é \(\frac{\sqrt{3}}{2}l\), pelo que \(A=\frac{\sqrt{3}}{4}l^{2}\). No caso do triângulo de Morley, vimos que \(l=8R\sen\frac{a}{3}\sen\frac{b}{3}\sen\frac{c}{3}\), logo \[A=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(8R\sen\frac{a}{3}\sen\frac{b}{3}\sen\frac{c}{3}\right)^{2}=\\ =16\sqrt{3}R^{2}\sen^{2}\frac{a}{3}\sen^{2}\frac{b}{3}\sen^{2}\frac{c}{3}.\]
Para calcular a área do triângulo inicial, vamos utilizar a lei dos senos. Sendo \(R\) o circunraio do triângulo \([ABC]\), então os seus lados são \(2R\sen a\), \(2R \sen b\) e \(2R \sen c\). Tomando a base como \(2R \sen a\), então a altura é \(2R \sen b \sen c\), pelo que \[A=\frac{2R \sen a \cdot 2R \sen b \sen c}{2}=\\ =2R^2 \sen a \sen b \sen c.\]
A razão entre as áreas é, portanto: \[r=\frac{16\sqrt{3}R^{2}\sen^{2}\frac{a}{3}\sen^{2}\frac{b}{3}\sen^{2}\frac{c}{3}}{2R^2 \sen a \sen b \sen c}=\\= 8\sqrt{3} \frac{\sen^{2}\frac{a}{3}\sen^{2}\frac{b}{3}\sen^{2}\frac{c}{3}}{\sen a \sen b \sen c}\]
Considerando a função \[f(x,y,z)= 8\sqrt{3} \frac{\sen^{2}\frac{x}{3}\sen^{2}\frac{y}{3}\sen^{2}\frac{z}{3}}{\sen x \sen y \sen z}\] restricta aos valores de \(x\), \(y\) e \(z\) tais que \(x,y,z>0\) e \(x+y+z=\pi\), verifica-se, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, que esta função tem um ponto crítico em \((a,b,c)\) quando \(g(a)=g(b)=g(c)\), onde \(g(x)=2\cot\frac{x}{3}-3\cot x\). A função \(g(x)\) definida no intervalo \(]0,\pi[\) não é injectiva, mas, no entanto, é contínua e derivável e tem apenas um valor crítico, logo os pontos \(a\), \(b\) e \(c\) não podem ser todos distintos (caso contrário, a função \(g(x)\) teria pelo menos dois pontos críticos distintos, o que não acontece). Supondo, por exemplo, que \(a=b\), então \(c=\pi-a-b=\pi-2a>0\) pelo que \(0<a<\frac{\pi }{2}\) e temos \(g(a)=g(\pi -2a)\), sendo que o único zero da função \(g(x)-g(\pi -2x)\) no intervalo \(]0,\frac{\pi }{2}[\) é \(\frac{\pi }{3}\).
Conclui-se assim que \(a=b=c=\frac{\pi}{3}\), ou seja, o triângulo inicial é equilátero, e o valor máximo para a razão entre as áreas é: \[\begin{array}{lll} f\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right) & = & 8\sqrt{3}\frac{\left(\sen^{2}\frac{\pi}{9}\right)^{3}}{\left(\sen\frac{\pi}{3}\right)^{3}}\\ & = & 8\sqrt{3}\frac{\sen^{6}\frac{\pi}{9}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}}\\ & = & \frac{64}{3}\sen^{6}\frac{\pi}{9} \end{array}\]
Para calcular o máximo da razão entre os perímetros, basta notar que o perímetro do triângulo de Morley é dado por \(3l=24R\sen\frac{a}{3}\sen\frac{b}{3}\sen\frac{c}{3}\), enquanto que o perímetro do triângulo inicial é \(8R\cos\frac{a}{2}\cos\frac{b}{2}\cos\frac{c}{2}\).
A razão entre os perímetros é, portanto: \[r=\frac{24R\sen\frac{a}{3}\sen\frac{b}{3}\sen\frac{c}{3}}{8R\cos\frac{a}{2}\cos\frac{b}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{3\sen\frac{a}{3}\sen\frac{b}{3}\sen\frac{c}{3}}{\cos\frac{a}{2}\cos\frac{b}{2}\cos\frac{c}{2}}\]
Considerando a função \[f(x,y,z)=\frac{3\sen\frac{x}{3}\sen\frac{y}{3}\sen\frac{z}{3}}{\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{z}{2}}\] restricta aos valores de \(x\), \(y\) e \(z\) tais que \(x,y,z>0\) e \(x+y+z=\pi\), verifica-se, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, que esta função tem um ponto crítico em \((a,b,c)\) quando \(g(a)=g(b)=g(c)\), onde \(g(x)=2 \cot \frac{x}{3}+3\tan \frac{x}{2}\). A função \(g(x)\) definida no intervalo \(]0,\pi [\) não é injectiva, mas, no entanto, é contínua e derivável e tem apenas um valor crítico, logo os pontos \(a\), \(b\) e \(c\) não podem ser todos distintos (caso contrário, a função \(g(x)\) teria pelo menos dois pontos críticos distintos, o que não acontece). Supondo, por exemplo, que \(a=b\), então \(c=\pi -a-b= \pi - 2a >0\) pelo que \(0<a<\frac{\pi }{2}\) e temos \(g(a)=g(\pi -2a)\), sendo que o único zero da função \(g(x)-g(\pi -2x)\) no intervalo \(]0,\frac{\pi }{2}[\) é \(\frac{\pi}{3}\).
Conclui-se assim que \(a=b=c=\frac{\pi}{3}\), ou seja, o triângulo inicial é equilátero, e o valor máximo para a razão entre os perímetros é: \[\begin{array}{lll} f\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right) & = & \frac{3\left(\sen \frac{\pi}{9}\right)^{3}}{\left(\cos\frac{\pi}{6}\right)^{3}}\\ & = & \frac{3 \sen^{3}\frac{\pi}{9}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}}\\ & = & \frac{8}{\sqrt{3}}\sen^{3}\frac{\pi}{9} \end{array}\]
Note-se que \(\frac{8}{\sqrt{3}} \sen^{3} \frac{\pi}{9}\) é a razão de semelhança entre o triângulo de Morley e o triângulo equilátero inicial, pelo que a razão entre as suas áreas é \(\left(\frac{8}{\sqrt{3}} \sen^{3} \frac{\pi}{9}\right)^{2}=\frac{64}{3}\sen^{6}\frac{\pi}{9}\), como foi visto anteriormente.
