ATRACTOR

Construa o paralelogramo \([ABCD]\), as suas trissectrizes e os pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes, \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\). Una estes pontos consecutivamente, de modo a formar um quadrilátero. Como \(A\hat{D}E=C\hat{B}G\), \(D\hat{A}E=B\hat{C}G\) e \(\overline{AD}=\overline{BC}\), temos que os triângulos \([ADE]\) e \([CBG]\) são congruentes, logo \(\overline{AE}=\overline{CG}\) e \(\overline{DE}=\overline{BG}\). Analogamente, como \(A\hat{B}F=C\hat{D}H\), \(B\hat{A}F=D\hat{C}H\) e \(\overline{AB}=\overline{CD}\), temos que os triângulos \([ABF]\) e \([CDH]\) também são congruentes, logo \(\overline{AF}=\overline{CH}\) e \(\overline{BF}=\overline{DH}\). Como \(E\hat{A}F=G\hat{C}H\), \(\overline{AE}=\overline{CG}\) e \(\overline{AF}=\overline{CH}\), temos que os triângulos \([EAF]\) e \([GCH]\) são congruentes, logo \(\overline{EF}=\overline{GH}\). Analogamente, como \(F\hat{B}G=H\hat{D}E\), \(\overline{BF}=\overline{DH}\) e \(\overline{BG}=\overline{DE}\), temos que os triângulos \([ FBG]\) e \([ HDE]\) também são congruentes, logo \(\overline{FG}=\overline{HE}\). Portanto, o quadrilátero \([EFGH]\) é um paralelogramo.

Se \([ABCD]\) é um rectângulo, então todos os seus ângulos internos são rectos, pelo que são trissectados em ângulos de \(30^{\circ}\). Temos então que \([ AED]\), \([ AFB]\), \([ BGC]\) e \([ CHD]\) são triângulos isósceles, pelo que \(\overline{DE}=\overline{AE}=\overline{BG}=\overline{CG}\) (são lados de \(2\) triângulos isósceles congruentes) e \(\overline{AF}=\overline{BF}=\overline{CH}=\overline{DH}\) (são também lados de \(2\) triângulos isósceles congruentes). Logo, como \(E\hat{A}F=F\hat{B}G\), \(\overline{AE}=\overline{BG}\) e \(\overline{AF}=\overline{BF}\), temos que \([EAF]\) e \([FBG]\) são congruentes, pelo que \(\overline{FE}=\overline{FG}\). Como \([EAF]\) é congruente com \([GCH]\), vem \(\overline{FE}=\overline{HG}\) e, como \([FBG]\) é congruente com \([HDE]\), vem \(\overline{FG}=\overline{HE}\). Portanto, os lados do paralelogramo \([EFGH]\) são todos iguais, ou seja, \([EFGH]\) é um losango.

Se \([ABCD]\) é um losango, então \(\overline{AD}=\overline{AB}\) e, como \(D\hat{A}E=F\hat{A}B\) e \(A\hat{D}E=A\hat{B}F\), temos que \([ADE]\) e \([ABF]\) são congruentes, logo \(\overline{AE}=\overline{AF}\). Como \([ADE]\) é congruente com \([CBG]\), temos que \([ABF]\) e \([CBG]\) também são congruentes, logo \(\overline{BF}=\overline{BG}\). Portanto, os triângulos \([EAF]\) e \([FBG]\) são isósceles e, consequentemente, também os triângulos \([ GCH]\) e \([ HDE]\) são isósceles, dado que estes são congruentes com os anteriores. Temos então que \(A\hat{E}D=A\hat{F}B=B\hat{G}C=C\hat{H}D\) (são ângulos de \(4\) triângulos congruentes), \(A\hat{E}F=A\hat{F}E=C\hat{G}H=C\hat{H}G\) (são ângulos de \(2\) triângulos isósceles congruentes) e \(B\hat{F}G=B\hat{G}F=D\hat{H}E=D\hat{E}H\) (são também ângulos de \(2\) triângulos isósceles congruentes). Logo, os ângulos internos do paralelogramo \([EFGH]\) são iguais, dado que as suas amplitudes podem ser obtidas subtraindo a \(360^{\circ}\) amplitudes de ângulos iguais (por exemplo, \[\begin{array}{ccl} E\hat{F}G & = & 360^{\circ}-A\hat{F}E-A\hat{F}B-B\hat{F}G\\ & = & 360^{\circ}-C\hat{G}H-C\hat{G}B-B\hat{G}F\\ & = & F\hat{G}H). \end{array}\] Além disso, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é de \(360^{\circ}\), logo todos os ângulos internos do paralelogramo \([EFGH]\) são rectos, ou seja, \([EFGH]\) é um rectângulo.