Matemática dos azulejos
(Em construção) 
Visibilidade ou não das juntas?
A questão da visibilidade ou não das juntas, mencionada no fim da última página, foi várias vezes discutida durante a realização do trabalho, visto que o grau de destaque delas é muito variável de casa para casa5 e tê-las ou não em conta como parte da figura altera frequentemente a classificação do ponto de vista da simetria. Vejamos um exemplo.
Fig 12
Vendo de longe a casa representada na imagem da esquerda da figura 12 apenas se vêem umas linhas rectangulares claras, tendo o padrão o tipo de simetria *2222. Aquelas linhas correspondem às juntas dos azulejos, como se percebe ao olhar mais de perto (imagem do meio), vendo-se neste caso também o detalhe de cada azulejo. Entrando agora em conta não só com aquelas linhas mas também com o detalhe dos azulejos (nessa imagem do meio), nem muda o tipo de simetria nem a região fundamental, que é um quarto do azulejo todo. Mas, se tivermos em vista só o detalhe dos azulejos e pintarmos as juntas de uma cor próxima da do fundo do azulejo (imagem da direita) e as ignorarmos, o tipo de simetria muda para *442, e uma região fundamental corresponde a 1/8 de um quadrado azul, portanto sendo 16 vezes mais pequena do que a anterior. Há, no entanto, outros casos em que as juntas dos azulejos são imperceptíveis e em que é, pois, natural ignorá-las à partida. Um caso extremo seria o de uma fachada toda com azulejos quadrados brancos, sem desenhos. Sem vermos as juntas, nem sequer temos um padrão6, mas com as juntas temos um *442 sendo a região fundamental 1/8 do azulejo. Um caso em que as juntas são quase imperceptíveis é o representado na imagem da esquerda, na figura 13. Nessa figura estão também representadas: a imagem de um azulejo, tratada por forma a melhorar a qualidade do desenho, uma imagem com simetrias assinaladas (reflexões de eixos perpendiculares entre si passando pelos centros das flores e rotações de meia volta) e também com o carimbo resultante, um cone de bordos espelhados. Finalmente, a última imagem da figura 13 mostra o que aconteceria se as juntas tivessem sido assinaladas com destaque: desapareceriam todas as simetrias com eixos de reflexão descendentes para a direita; das crescentes para a direita, ficariam as que passam pelos cantos do azulejo e as outras dariam lugar a reflexões deslizantes: o carimbo seria uma tira de Möbius de bordo espelhado.
Fig 13
5 Mesmo considerando só azulejos sem relevo, a visibilidade depende da folga deixada entre azulejos e do contraste entre a cor do material de remate e a cor de fundo do azulejo (por vezes branco com azulejos de fundo escuro).
6 Recorde-se que o Atractor sempre usa a palavra padrão no sentido de duplamente periódico.
