Matemática dos azulejos
(Em construção) 
Simetrias em falta
A figura 5 mostra os 18 tipos de simetria encontrados em padrões e frisos de Ovar até Setembro de 2018.
Fig 5
Todos os 7 tipos de frisos existentes estão presentes (última linha e último elemento da penúltima) e, quanto aos 17 padrões, os cinco que admitem rotações de 120º (quatro no canto superior esquerdo e um no superior direito) não estão representados, como era de esperar, por ser mais natural surgirem com azulejos hexagonais. Há ainda um tipo de simetria, o último da segunda linha (22x/pgg), que poderia perfeitamente aparecer, mas (ainda) não encontrámos. Vamos dar algumas indicações sobre como proceder para o obter usando azulejos de outras casas, com disposição diferente; isso tornará fácil a tarefa de alguém que decida, usando-as, fazer com que haja brevemente em Ovar todos os tipos de simetria que se podem obter com azulejos existentes à venda.
Comecemos por notar que, nos padrões com alguma simetria de reflexão, há duas situações possíveis: ou o azulejo já tem alguma simetria de reflexão e a forma de assentamento respeita-a (casos da figura 2); ou o azulejo não tem nenhuma simetria de reflexão, mas existem dois azulejos, um reflectido do outro. A primeira situação é, de longe, a mais frequente.
Fig 6
A figura 6 mostra todos os azulejos encontrados em Ovar correspondentes à segunda situação, isto é, em que, para cada azulejo, há também o seu reflectido. Escolhendo um dos que não têm nenhuma simetria (qualquer diferente do primeiro e do quarto) e usando o GeCla com essa imagem por motivo e o carimbo correspondente a 22x (plano projetivo), obtemos uma zona com o tipo de simetria que (ainda) parece faltar em Ovar: ver a figura 7 obtida com o quinto azulejo.
Fig 7
Para construir esta zona, toma-se um azulejo e coloca-se junto a cada um dos seus lados um reflectido, mas rodado de meia-volta. Basta, pois, dispor de pares de azulejos, reflectidos um do outro.
Vejamos o caso dos cinco padrões que faltam. No DVD Simetria, apresentação dinâmica criado pelo Atractor em 2009, há imagens de padrões recolhidos no Alhambra referentes a esses 5 tipos de simetria. Se houvesse azulejos hexagonais ou triangulares (equiláteros) no mercado, seria uma tarefa simples encontrar motivos para esses azulejos e com eles produzir naturalmente os cinco tipos em falta4. A figura 8 ilustra como obter dois desses cinco tipos.
Fig 8
Sem azulejos hexagonais, há uma solução com azulejos rectangulares de proporções adequadas. Consideremos por exemplo o tipo de simetria *632, que tem como carimbo um triângulo rectângulo com ângulos 30º e 60º, e suponhamos a hipotenusa de comprimento unitário (ver figura 9 criada com o GeCla).
Fig 9
Este carimbo dá origem a redes de hexágonos regulares. Calculemos as amplitudes das translações mínimas em duas direcções perpendiculares entre si. As normas dos vectores de translação são \(3\) para a vertical e \(\sqrt{3}\) para a horizontal, portanto a razão é \(\sqrt{3}\). Com azulejos rectangulares de lados nesta proporção seria exequível produzir o padrão. A título de exemplo referente ao caso *632, o azulejo representado na figura 10 permite obter o primeiro padrão do Alhambra da figura 8. Na figura 11, obtida com o GeCla, mostra-se o padrão obtido com esse azulejo; nela estão marcados os vértices dos azulejos. Numa solução destas, a concretizar-se, seria essencial que o assentamento final dos azulejos tornasse praticamente imperceptíveis as juntas entre eles e seria crucial que as proporções entre os comprimentos dos lados fossem respeitadas.
4 Seria interessante que a autarquia de uma localidade com abundância de azulejos indagasse da possibilidade de produção económica de azulejos hexagonais e promovesse a produção de tais azulejos, por forma a vir a poder, dentro de algum tempo, incluir na informação ou num roteiro cultural a indicação de que já estavam representados na localidade todos os tipos de simetria existentes de padrões com azulejos...
