Matemática dos azulejos
(Em construção) 
Matemática dos azulejos?
À partida, o título Matemática dos Azulejos poderia levantar a questão de saber se a análise matemática "dos azulejos" foca cada azulejo individualmente ou o resultado da forma como o assentamento dos azulejos é feito numa certa zona da fachada de uma casa. Por exemplo, consideremos o azulejo1 representado na figura 1, formado por um V; esse azulejo, individualmente, tem uma reflexão vertical, com eixo exactamente a meio.
Fig 1
Mas podemos imaginar diversas formas de disposição, por exemplo as representadas nas três imagens da figura 2.
Fig 2
Nos três casos há simetrias de reflexão de eixos verticais passando pelo vértice do V de cada azulejo, reflexões essas provenientes da simetria existente no próprio azulejo. No segundo caso são as únicas e nos outros dois há também simetrias de reflexão com eixos verticais passando pelas junções verticais dos azulejos; no terceiro caso há ainda reflexões de eixos horizontais passando pelas junções horizontais. Nos três casos há rotações de meia-volta cujos centros são: i) no primeiro, para cada V, os meios dos seus dois segmentos e as suas projecções no lado do azulejo que contém o vértice do V; ii) no segundo, os quatro vértices de cada azulejo e os meios dos seus lados verticais; iii) no terceiro, os meios dos lados dos V (além das que resultam das reflexões).
Seria ilusório pensar que, extrapolando o que é afirmado no início do parágrafo anterior, poderíamos afirmar que a simetria de reflexão do azulejo V dá necessariamente lugar a uma simetria de reflexão do padrão que o utiliza.
Fig 3
No Furadouro foi encontrada uma casa com este azulejo, mas disposto de uma forma que não conduz a nenhuma simetria de reflexão: ver na figura 3 uma imagem com essa casa e uma zona da sua fachada principal2.
Relativamente à pergunta inicial, podemos afirmar que o que procuramos é a simetria do padrão e não a simetria eventualmente existente no azulejo.
Notas:
- A segunda imagem da figura 3, em baixo à direita, representa uma Zona GeCla3. Clicando nessa imagem, poderá importá-la e utilizá-la com o GeCla para receber ajuda ao procurar as simetrias e o tipo de simetria do padrão correspondente. Estas funcionalidades estão disponíveis para todos os padrões e todos os frisos de todas as casas com azulejos, e há casas que apresentam, entre padrões e frisos, um total de cinco diferentes.
- A figura 4 representa: i) um mapa, obtido por um utilizador que escolheu um círculo (centro e raio) e alguns tipos de simetria, para localizar as casas nesse círculo com azulejos desses tipos de simetria; ii) o carimbo correspondente ao azulejo da casa clicada, numa fase da animação que o mostra a carimbar o friso.
Fig 4
1 Salvo menção em contrário, os azulejos, zonas e casas representados referem-se a Ovar (incluindo o Furadouro).
2 O padrão tem reflexões deslizantes e grupo de simetria xx (pg), tendo sido encontradas até agora, entre mais de 700 casas já tratadas, só mais três com padrões desse grupo, curiosamente todas elas no Furadouro. Uma é contígua à representada na figura 3 e as três usam um mesmo azulejo com forma semelhante ao dessa figura, sendo o assentamento exactamente do mesmo tipo.
3 GeCla é um programa criado e distribuído gratuitamente pelo Atractor e que permite: i) produzir padrões e frisos de qualquer tipo de simetria a partir de um motivo desenhado pelo utilizador, ou contido numa imagem; ii) classificar um padrão ou friso, facilitando a pesquisa de todas as suas simetrias.
Este texto é uma versão ligeiramente modificada do seguinte artigo publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática
