Matemática dos azulejos

(Em construção) Reformatar


Simetria de reflexão deslizante

4. Simetria de reflexão deslizante

Nota que usámos o mesmo termo (simetria) para noções aparentemente muito diferentes.
No caso da simetria de reflexão, estamos à procura de reflexões que deixem a figura idêntica (invariante). No caso da simetria de rotação, estamos à procura de rotações que deixem a figura invariante. E, finalmente, no caso da simetria de translação estamos à procura de translações que deixem a figura invariante.

Mas, o que é que rotações, reflexões e translações têm em comum? Nota que todas elas são transformações geométricas que preservam as distâncias1; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais.

Reflexão de eixo r


Rotação de centro em O e amplitude 90º


Translação


Mas será que as tranformações destes três tipos são as únicas com esta propriedade?

A resposta é não, existe mais uma à qual chamamos reflexão deslizante.

Por exemplo, considera o friso

Animação

e imagina uma cópia dele, que colocas exatamente por cima. É possível refletir a meio na horizontal e arrastar a cópia um pouco para a frente ou para trás, por forma a que o aspecto da imagem obtida seja idêntico ao da imagem inicial. Diz-se que este friso tem simetria de reflexão deslizante.

1 Isto é: se P e Q são dois pontos quaisquer e P' e Q' os seus transformados, então a distância de P a Q, é a mesma que a de P' a Q'. Os matemáticos chamam às tranformações que preservam distâncias isometrias. A palavra isometria tem origem grega e significa igual medida (iso - igual; metria - medida).