Formação Matemática de Nadadores-Salvadores Reformatar


Percurso óptimo

Por uma questão de simplicidade, começaremos por tratar um caso particular: o nadador-salvador \(A\) está mesmo na linha de água e começa por correr ao longo dela até um ponto \(C\), nadando depois em direcção ao náufrago \(B\). Como escolher \(C\), de forma a que \(ACB\) seja o percurso mais rápido? Designemos por \(v_{1}\) a velocidade de corrida e por \(v_{2}\)(\(< v_{1}\)) a velocidade de natação. Queremos \(C\) tal que (ver figura seguinte), para quaisquer pontos na linha de água, \(D\) à direita de \(C\) e \(E\) à esquerda de \(C\), os percursos \(ADB\) e \(AEB\) sejam mais demorados do que o percurso \(ACB\).

\(F\) é o ponto da linha de água na perpendicular por \(B\) e a tracejado estão representadas as perpendiculares por \(C\) e \(D\) a \(CB\) e a paralela a \(CB\) por \(E\), sendo \(G\), \(H\), \(I\) pontos de intersecção claramente identificáveis na figura.

O tempo do percurso \(ACB\) é \(\frac{\overline{AC}}{v_{1}} + \frac{\overline{CB}}{v_{2}}\). O de \(ADB\) é \(\frac{\overline{AD}}{v_{1}} + \frac{\overline{DB}}{v_{2}}\) e ele tem uma parte \(AC\) comum a \(ACB\). Queremos encontrar uma condição sobre \(C\) que garanta que \(CB\) é mais rápido do que \(CDB\) para qualquer \(D\) à direita. Ora, \(HB\) é mais rápido do que \(DB\): estão no mesmo meio, portanto, a velocidade é a mesma, e \(DB\) é hipotenusa de um triângulo de que \(HB\) é cateto, portanto, mais longa do que \(HB\). Se a duração de \(CH \) (\(= \frac{\overline{CH}}{v_{2}}\)) for inferior ou igual à de \(CD\) (\(= \frac{\overline{CD}}{v_{1}}\)), poderemos concluir que o percurso \(CB\) é mais rápido do que \(CDB\). Mas \(\frac{\overline{CH}}{v_{2}} \leq \frac{\overline{CD}}{v_{1}}\) equivale a \(\frac{\overline{CH}}{\overline{CD}} \leq \frac{v_{2}}{v_{1}}\). E o triângulo \(CHD\) é semelhante ao triângulo \(CFB\) (são ambos rectângulos e têm um ângulo agudo comum). Portanto, podemos afirmar que, se a "inclinação" de \(CB\) relativamente à linha de água, medida por \(\frac{\overline{CF}}{\overline{CB}}\), for menor ou igual a \(\frac{v_{2}}{v_{1}}\), então o percurso \(ADB\) é mais demorado do que o percurso \(ACB\).

Um raciocínio análogo, agora aplicado a \(AEB\) e tendo em conta que o triângulo rectângulo \(EIC\) é também semelhante a \(CFB\), permite concluir que, se \(\frac{\overline{CF}}{\overline{CB}}\) for maior ou igual a \(\frac{v_{2}}{v_{1}}\), o percurso \(ACB\) é mais rápido do que \(AEB\). Podemos então concluir que, se \(\frac{\overline{CF}}{\overline{CB}}\) for exactamente \(\frac{v_{2}}{v_{1}}\)1, então o percurso por \(C\) é mais rápido do que os que estão à direita ou à esquerda!

Este caso particular, em que \(A\) está na linha de água fica, pois, resolvido.

1 O que é equivalente a \(\frac{v_{2}}{\small\mbox{inclinação de }CB}\) ser igual a \(v_{1}\). Note-se que esta condição só aparentemente é assimétrica relativamente a \(v_{1}\) e \(v_{2}\), porque \(v_{1}\) também se pode escrever como \(\frac{v_{1}}{\small\mbox{inclinação de }AC}\), por, neste caso particular em que \(A\) está na linha de água, a inclinação de \(AC\) ser \(1\).