A curva loxodrómica e duas projecções da esfera (*) Reformatar


Introdução

Imagine-se um navegador da época dos Descobrimentos que pretende viajar de Portugal ao Brasil. Como é que poderá fazer essa viagem utilizando como instrumento de navegação uma simples bússola?

Uma forma de realizar tal viagem é fixar um ângulo com os meridianos e viajar mantendo sempre esse ângulo constante, com a ajuda da bússola*. Mas qual deverá ser o ângulo? E será esse o único ângulo possível? Será que esse trajecto corresponde ao caminho mais curto entre os pontos de origem e destino? E se, depois de chegar ao destino, continuasse a sua viagem mantendo o ângulo constante, será que voltaria ao ponto de partida?

Usando a seguinte aplicação interactiva, pode fazer uma simulação de tal viagem e procurar respostas para as questões anteriores.

 

  1. Na Terra**, estão assinalados os pontos \(A\) e \(B\). Para tornar o ponto \(A\) ou \(B\) móvel/fixo, carregue no botão direito do rato e, enquanto o pressiona, na tecla \(A\) ou \(B\), respectivamente. Depois largue ambos.
  2. A amarelo é apresentado um arco de uma curva que faz sempre o mesmo ângulo com os meridianos que intersecta. Pode variar esse ângulo usando o respectivo cursor.
  3. Encontre um ângulo de forma a que os extremos do arco amarelo sejam \(A\) e \(B\). Existirá um único ângulo nessas condições?
  4. Seleccionando a opção Solução, é apresentado o arco \(AB\) (a vermelho) que faz sempre o mesmo ângulo com os meridianos. O arco apresentado tem o menor comprimento possível nestas condições.
*Na verdade, os pólos magnéticos não coincidem com os pólos geográficos e, portanto, a bússola não indica o pólo norte geográfico mas sim o pólo magnético. Nas páginas seguintes, está-se a supor que o ângulo corresponde ao ângulo dado pela bússola corrigido, tendo em conta a declinação magnética do lugar (a declinação magnética de um lugar é a medida do ângulo formado entre a direcção apontada pela bússola nesse lugar, ou seja, a direcção do norte magnético da Terra, e a direcção do norte geográfico, determinado pelo eixo de rotação da Terra).

No final, pode consultar uma solução do problema tendo em consideração a diferença entre os pólos magnéticos e geográficos.

**Neste trabalho, considera-se um modelo esférico do planeta Terra.
Traduzido para inglês por uma equipa do CMUC, a partir da versão original portuguesa. O Atractor agradece a sua colaboração.
Este trabalho integra componentes interactivas em formato CDF preparadas com o programa Mathematica. Para a utilização desses ficheiros, deverá importá-los para o seu computador e aceder-lhes com o CDF Player, que pode ser importado sem encargos a partir de http://wolfram.com/cdf-player

(*) Este trabalho foi realizado sob a orientação do Professor Samuel Lopes da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, no âmbito de uma bolsa atribuída pela Fundação para a Ciência e Tecnologia para desenvolver um projecto de divulgação de Matemática no Atractor.

Nível de dificuldade: Secundário, Superior